Tensión y corriente complejas en un circuito de CC de estado estacionario con componente no lineal

Question

Tensión y corriente complejas en un circuito de CC de estado estacionario con componente no lineal

Vinicius ACP

Estaba tratando de resolver el siguiente circuito que tiene un componente no lineal:

esquemático

^{simular este circuito : esquema creado con CircuitLab}

B es el componente no lineal con la siguiente característica:

i = {\begin{cases} 3 \cdot (v - 3)^{2} + 1, & v \geq 1 \\ 0, & v < 1 \end{cases}, [i] = A | [v] = V

$i = \begin{cases} 3\cdot (v-3)^2 +1, & v \geq 1 \\ 0, & v < 1 \end{cases} ,\quad[\,i\,]=\mathrm A \,\,\,|\,\,\,[\,v\,]=\mathrm V$

En primer lugar, encontré el equivalente de Thévenin visto por el componente no lineal:

\begin{array}{cc} {mi}_{t h} = 8 V & R_{t h} = 1.6 Ω \end{array}

$\begin{array}{c|c} E_{th}=8\mathrm{V} \quad & \quad R_{th}=1.6\mathrm{\Omega} \end{array}$ Entonces, por KVL, tenemos:

\begin{aligned} v & = 8 - v_{R} \\ = 8 - 1.6 \cdot i \\ = 8 - 4.8 \cdot (v - 3)^{2} - 1.6 \\ ⟹ 4.8 v^{2} - 27,8 v + 36.8 = 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{1} v &= 8-v_R \\ &= 8-1.6\cdot i \\ &= 8-4.8\cdot (v-3)^2-1.6 \\ &\implies 4.8v^2-27.8v+36.8=0 \end{alignat}$ Resolviendo la ecuación anterior, tenemos dos pares de posibles respuestas:

v_{1} \approx 2.0478 V ⟹ i_{1} \approx 3.7201 A v_{2} \approx 3.7439 V ⟹ i_{2} \approx 2.6602 A

$v_1 \approx 2.0478\mathrm{V} \implies i_1 \approx 3.7201\mathrm{A} \\ v_2 \approx 3.7439\mathrm{V} \implies i_2 \approx 2.6602\mathrm{A}$ Si

i = 0

$i=0$ tenemos

v = 8

$v=8$ , pero

i = 0

$i=0$ sólo si

v < 1

$v<1$ , por lo que esta situación nunca sucede.

En segundo lugar, estaba tratando de demostrar que la superposición no es válida para este circuito. Fue entonces cuando sucedió algo extraño para mí. Si la fuente de corriente está inactiva, tenemos el siguiente circuito:

esquemático

^{simular este circuito}

Nuevamente, por KVL, tenemos:

\begin{aligned} v & = 3.2 - v_{R} \\ = 3.2 - 1.6 \cdot i \\ = 3.2 - 4.8 \cdot (v - 3)^{2} - 1.6 \\ ⟹ 4.8 v^{2} - 27,8 v + 41.6 = 0 \end{aligned}

$\begin{alignat}{1} v &= 3.2-v_R \\ &= 3.2-1.6\cdot i \\ &= 3.2-4.8\cdot (v-3)^2-1.6 \\ &\implies 4.8v^2-27.8v+41.6=0 \end{alignat}$ Resolviendo esta ecuación, tenemos lo extraño:

v_{1}^{'} \approx 2.8958 + j 0.5299 V ⟹ i_{1}^{'} \approx 0.1901 - j 0.3312 A v_{2}^{'} \approx 2.8958 - j 0.5299 V ⟹ i_{2}^{'} \approx 0.1901 + j 0.3312 A

$v_1' \approx 2.8958+j0.5299\mathrm{V} \implies i_1' \approx 0.1901-j\,0.3312\mathrm{A} \\ v_2' \approx 2.8958-j0.5299\mathrm{V} \implies i_2' \approx 0.1901+j\,0.3312\mathrm{A} \\$

Mis preguntas:

¿Cuál es la interpretación de estos voltajes y corrientes complejos? ¿Cómo puede un circuito de CC de estado estable tener voltajes y corrientes complejos?
Traté de simular ambos circuitos en Multisim 14. Para el primero, solo obtuve el primer par de resultados ( $v_1 \approx 2.0478\mathrm{V} \implies i_1 \approx 3.7201\mathrm{A}$ ). ¿Cómo obtendría el segundo par?
Al simular el segundo circuito, obtuve un error de simulación ( "El cálculo del punto de tiempo transitorio no convergió. Simulación cancelada" ). ¿Por qué pasó esto? ¿Por qué la simple eliminación de la fuente de corriente hace que la simulación falle? ¿Hay alguna manera de hacer que funcione?

_{Nota: Para el componente no lineal, utilicé NON_IDEAL_RESISTOR, el único con la opción "Current = f(voltage)"}

Registro Multisim 14

======= Comprobación de SPICE Netlist completada, 0 errores, 0 advertencias =======
El cálculo del punto de tiempo transitorio no convergió
Simulación cancelada

Salida del análisis de instrumentos
| | Iniciando paso a paso Gmin dinámico
| | Error en el paso dinámico de Gmin
| | Comenzando paso a paso fuente dinámica
| | Error en el paso de origen dinámico
| | El punto de funcionamiento de CC falló. Resimulando con UIC
| | TRAN: Paso de tiempo demasiado pequeño; punto de tiempo inicial: problema con el nodo $2
| | Error: doAnalyses: Paso de tiempo demasiado pequeño (cálculo de punto de tiempo transitorio | | no converge)
| | tran simulación(s) cancelada(s) (Simulación cancelada)

broma

Puedo proporcionar una respuesta que puede satisfacer. Pero yo usaría análisis nodal. ¿Te importa? Puede ayudar a ver mejor separando lo que parecen ser corrientes entrantes y salientes. Pero usaría KCL para ayudar a ilustrarlo. Si lo enfoco de esta manera, puedes ver que la superposición todavía funciona.

Vinicius ACP

@jonk No hay problema jonk, siéntete libre de responder usando el análisis nodal.

mitu raj

eleceng.dit.ie/kgaughan/notes/DT022%20Electrical%20Engineering/… -- La representación compleja tiene significados precisos

Vinicius ACP

@MituRaj El problema es que aparecen voltajes y corrientes de valores complejos en un circuito de CC de estado estable . (No es el caso de CA aquí, es por eso que no sé cómo interpretar estos valores complejos que obtuve).

Respuestas (2)

Tensión y corriente complejas en un circuito de CC de estado estacionario con componente no lineal

Puedo proporcionar una respuesta que puede satisfacer. Pero yo usaría análisis nodal. ¿Te importa? Puede ayudar a ver mejor separando lo que parecen ser corrientes entrantes y salientes. Pero usaría KCL para ayudar a ilustrarlo. Si lo enfoco de esta manera, puedes ver que la superposición todavía funciona.
@jonk No hay problema jonk, siéntete libre de responder usando el análisis nodal.
eleceng.dit.ie/kgaughan/notes/DT022%20Electrical%20Engineering/… -- La representación compleja tiene significados precisos
@MituRaj El problema es que aparecen voltajes y corrientes de valores complejos en un circuito de CC de estado estable . (No es el caso de CA aquí, es por eso que no sé cómo interpretar estos valores complejos que obtuve).

broma · Answer 1

En primer lugar, quiero decir que estoy de acuerdo con todos sus análisis anteriores. Así que no necesitamos pasar mucho tiempo allí. Pero lo revisaré. Además, creo que entiendo que su pregunta es sobre por qué la superposición aún puede funcionar (o tal vez no, pero si no, ¿por qué no?)

Cuando usa la superposición, está sumando resultados separados. Así que permítanme echar un vistazo a todo el circuito utilizando el análisis nodal, manejado de la manera que siempre prefiero manejarlo (por cierto, no como se enseña en los libros). Aquí, coloco todas las corrientes entrantes a la derecha y las corrientes salientes por la izquierda. (Lo hago de esta manera, no porque supiera que su pregunta llegaría algún día, sino porque me ayuda a evitar cometer errores matemáticos estúpidos). Llamemos al voltaje especial $V_x$ en lugar de $v$ simplemente porque tengo ganas, hoy:

\begin{matrix} (Solución completa) & \frac{V_{X}}{1.6 Ω} + [3 {(V_{X} - 3 V)}^{2} + 1 V^{2}] \cdot \frac{1}{V Ω} = 3 A + \frac{3.2 V}{1.6 Ω} \end{matrix}

$\frac{V_x}{1.6\:\Omega}+\left[3\left(V_x-3\:\text{V}\right)^2+1\:\text{V}^2\right]\cdot\frac{1}{V\,\Omega}=3\:\text{A}+\frac{3.2\:\text{V}}{1.6\,\Omega}\label{full}\tag{Full Solution}$

No resolveré esto. Ya lo hiciste. Pero quiero señalar algunos detalles menores antes de continuar. Tenga en cuenta que multipliqué su expresión para la corriente por las unidades necesarias para convertirla en amperios. Esto es necesario por razones de análisis dimensional y siempre debe estar en la práctica de un conocimiento muy alto de las dimensiones trabajando cada vez que escribe una ecuación o expresión. Es importante. Otra cosa a examinar es que he colocado las corrientes de salida a la izquierda y las corrientes de entrada a la derecha.

Ahora, vamos con tu caso donde eliminas la fuente de corriente a la izquierda y mantienes la fuente de voltaje. ¿Cuál es la nueva ecuación?

\begin{matrix} (\neg Actual) & \frac{V_{X}}{1.6 Ω} + [3 {(V_{X} - 3 V)}^{2} + 1 V^{2}] \cdot \frac{1}{V Ω} = \frac{3.2 V}{1.6 Ω} \end{matrix}

$\frac{V_x}{1.6\:\Omega}+\left[3\left(V_x-3\:\text{V}\right)^2+1\:\text{V}^2\right]\cdot\frac{1}{V\,\Omega}=\frac{3.2\:\text{V}}{1.6\,\Omega}\label{i}\tag{$\neg$ Current}$

¿Qué tal si eliminamos la fuente de tensión, cortocircuitándola, y mantenemos la fuente de corriente?

\begin{aligned} (\neg Voltaje) & \frac{V_{X}}{1.6 Ω} + [3 {(V_{X} - 3 V)}^{2} + 1 V^{2}] \cdot \frac{1}{V Ω} & = 3 A \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{V_x}{1.6\:\Omega}+\left[3\left(V_x-3\:\text{V}\right)^2+1\:\text{V}^2\right]\cdot\frac{1}{V\,\Omega}&=3\:\text{A}\label{v}\tag{$\neg$ Voltage} \end{align*}$

Si observa estas tres ecuaciones, puede ver fácilmente que en los tres casos las expresiones de corriente saliente son todas idénticas. No cambian ni un poco. Sin embargo, las expresiones actuales entrantes cambian y deben sumarse. En este sentido, la regla de superposición sigue funcionando.

También puede usar esto para argumentar que no es así y que la razón es que los pasos de eliminación de la fuente no modificaron las corrientes entrantes y salientes.

Sólo quería doblegar tu mente un poco. Puede que no sea una respuesta satisfactoria. Pero entonces, podría ser, también. Así es como imaginé el problema y, con suerte, algo de eso se entendió.

Aquí está el esquema y las tarjetas Spice que usé:

Y aquí están los resultados que se muestran después de la ejecución:

No fue difícil de verificar. El comando .MEAS puede funcionar de varias formas. En este caso, simplemente le dije que tomara el valor promedio, pero hubiera sido lo mismo si hubiera pedido el valor máximo, mínimo o algún otro valor en otro lugar durante la simulación .TRAN.

Puede ver que seleccioné los valores de solución de voltaje calculados (con una precisión ridícula) y luego simplemente ejecuté la simulación dos veces para ver cuáles son las corrientes. Resulta que son los valores que su fórmula también predeciría. Eso tiende a confirmar que el dispositivo B se está comportando correctamente. (Obviamente, si elijo valores que no son solución para el voltaje, entonces las corrientes probablemente no seguirán la fórmula que proporcionó).

Esta demostración de simulación no prueba que no haya otras soluciones. Y hay otras formas que podría haber intentado para "permitir" que LTspice encuentre automáticamente la solución (usando un modelo que construiría y luego configurando las condiciones iniciales de .IC, por ejemplo, pero no el único ejemplo). Pero muestra que sus soluciones son dos soluciones que producen los resultados esperados.

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat . Cualquier conclusión a la que se llegue debe volver a editarse en la pregunta y/o cualquier respuesta.

G36 · Answer 2

G36

Para ver por qué no obtiene la solución en el caso dos, podemos usar un método de línea de carga y trazarlo en el gráfico.

Como puede ver, el punto de intersección no existe. Por lo tanto, no existe ninguna solución en un mundo de números reales.

Vinicius ACP

Pero, ¿cuál es la interpretación de los voltajes y corrientes complejos que obtuve? ¿Tienen algún significado físico?

Tony Estuardo EE75

Los números complejos significan que cometió un error al principio de KVL y esta respuesta es incorrecta/incompleta para v > 3V

Tony Estuardo EE75

prueba v=3.744 luego i {=2.66} + 0.34 = 3A

Vinicius ACP

@TonyStewartSunnyskyguyEE75 ¿Qué error? Simplemente lo apliqué:

- 3.2 + v_{R} + v = 0 ⟹ v = 3.2 - v_{R}

$-3.2+v_R+v = 0 \implies v = 3.2 - v_R$

Tony Estuardo EE75

ingrese mi respuesta y verá que su declaración de KCL no es correcta

Vinicius ACP

@TonyStewartSunnyskyguyEE75 Vale.

v = 3.744 V ⟹ i \approx 2.66 A \begin{aligned} v & = 8 - v_{R} \\ v & = 8 - 1.6 \cdot i \\ v & = 8 - 1.6 \cdot 2.66 \\ 3.744 & = 3.744 \end{aligned}

$v=3.744 \mathrm V \implies i \approx 2.66 \mathrm A \\ \begin{alignat}{1} \\ v &= 8-v_R \\ v &= 8-1.6 \cdot i \\ v &= 8-1.6 \cdot 2.66\\ 3.744 &= 3.744 \end{alignat}$ Sin usar el equivalente de Thévenin:

\begin{aligned} v_{R} & = v - 3.2 \\ 1.6 \cdot i_{R} & = 3.744 - 3.2 \\ 1.6 \cdot (3 - 2.66) & = 0.544 \\ 1.6 \cdot 0.34 & = 0.544 \\ 0.544 & = 0.544 \end{aligned} 3.2 + 0.544 = 3.744 = v

$\begin{alignat}{1} v_R &= v-3.2\\ 1.6 \cdot i_R &= 3.744-3.2 \\ 1.6 \cdot (3-2.66) &= 0.544 \\ 1.6 \cdot 0.34 &= 0.544 \\ 0.544 &= 0.544 \\ \end{alignat} \\3.2+0.544=3.744=v$ No puedo aplicar estos valores en

v = 3.2 - v_{R}

$v=3.2-v_R$ porque no son soluciones de

4.8 v^{2} - 27,8 v + 41.6 = 0

$4.8v^2-27.8v+41.6=0$ Entonces, ¿dónde está el error?

Vinicius ACP

@ G36 Entonces, en un "mundo de números reales", ¿este circuito simplemente no funciona? Quiero decir, si tengo la situación del segundo circuito, ¿el circuito completo estará "apagado" o algo así?

Tony Estuardo EE75

Funciona, pero el estado estacionario está a la derecha de su curva. Pero el Thevenin parece no funcionar. El equivalente de Norton con 5A//1,6 ohmios funciona.

Tensión y corriente complejas en un circuito de CC de estado estacionario con componente no lineal

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