Tensión no constante en la cuerda.

Imagine una carga que cuelga de una cuerda vertical:

• La partícula inferior lleva la carga.
• La siguiente partícula lleva esa partícula más la carga.
• La siguiente partícula transporta las dos partículas inferiores más la carga.
• En general, una partícula transporta todas las partículas debajo de ella más la carga.

Claramente, la partícula de arriba lleva más mientras que la partícula de abajo lleva menos.

La tensión aumenta a través de la cuerda ya que las partículas llevan gradualmente más peso total. Solo en el caso especial de partículas sin masa, una cuerda sin masa, este no es el caso, ya que más partículas no agregan peso adicional.

Con suerte, puedes entenderlo de esta manera: mira, si un objeto no tiene masa ($m=0$), por la segunda ley de movimiento de Newton, si aplicamos una fuerza sobre el objeto, la aceleración no se puede definir. (Algo dividido por$0$no está definido.) Por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto debe ser cero para que el cuerpo tenga una aceleración finita y definida. Entonces, en el caso de una cuerda sin masa, la fuerza neta sobre la cuerda debe ser cero, y la fuerza neta sobre cada pequeña parte (elemento) de la cuerda debe ser cero, por lo que en todas partes la tensión sería la misma, digamos$T$. Ahora, si tiene una cuerda con masa (como en condiciones reales), ¡el elemento pequeño también está experimentando una fuerza gravitacional de la tierra! Por lo que la tensión en cada punto sería diferente, aumentando normalmente a medida que ascendemos.

Se desarrollaría una tensión no constante en una cuerda que cuelga de un soporte fijo si tiene una masa "no despreciable". Primero analicemos por qué se encuentra tal variación en la tensión. Supongamos que toma la parte inferior de la cuerda como origen y considera un elemento de longitud$dx$A una distancia$x$desde el fondo. Ahora analizando su diagrama de cuerpo libre:

Ahora analicemos las matemáticas relevantes involucradas. Como puede ver, el elemento de la cuerda está en equilibrio, por lo tanto, deberíamos tener una fuerza neta "CERO" sobre él. Por lo tanto, tenemos$T+dT-T = \lambda g dx$lo que nos lleva a

La expresión anterior al simplificar nos da$T(x) = \lambda gx_{0}$que es una función lineal de$x$(suponiendo que la densidad de masa lineal sea constante).

Una intuición similar nos puede ayudar mucho. Para el mismo elemento, divida la cuerda en dos partes, una arriba y otra debajo. Podemos ver que la masa superior tiene que soportar un peso igual al de la parte inferior (ya que la masa del elemento es insignificante) y por lo tanto podemos llegar al mismo resultado.

Otras respuestas aquí son adecuadas, pero me gusta el siguiente ejercicio mental para demostrar la tensión en una cuerda debido al peso propio.

Comience con lo que sabe; una cuerda ingrávida de un ejercicio de física; misma tensión en todo, digamos que está suspendiendo una carga de 10N, desde un punto fijo directamente arriba y está en reposo, en equilibrio.

Queremos convertir esto en una cuerda real, pero lentamente, una pequeña parte a la vez; como convertir un cuadrado en un círculo añadiendo más lados.

Ahora una cuerda real tiene masa$M_r$distribuido a lo largo de su longitud$L_r$tal que cualquier longitud de cuerda$dL$tendrá una masa equivalente$dM$

Entonces, en primera instancia, para calcular la tensión en la parte superior de la cuerda, simplemente agregue el peso de la cuerda$F_w=M_rG$en la base de la cuerda, junto con la fuerza de 10 N, esto ayuda, ahora sabe cuánto pesan la cuerda y la carga juntas.

Pero entonces sabes que la masa de la cuerda se distribuye a lo largo de la cuerda, no toda al final, así que eso no es muy realista.

Entonces divides la masa, en 2 secciones, ambas$\frac{M_r}{2}$, y coloque uno al final, uno en el punto medio; mejorando lentamente.

Ahora; la tensión en la parte superior de la cuerda sigue siendo correcta, así que está bien, pero la tensión entre las dos masas es diferente. Tiene que ser, la parte inferior de la cuerda ya no soporta la mitad de la masa de la cuerda, por lo que tiene que ser menos.

Luego puede tomar este concepto y ejecutarlo, cada vez que divide esa masa en trozos más pequeños y los distribuye a lo largo de la cuerda, la tensión cambia dependiendo de cuántos trozos están por encima o por debajo del punto en el que está midiendo la tensión.

Espero que esto le haya dado una idea más intuitiva del efecto de la distribución de masa continua a lo largo de una cuerda y su efecto sobre la tensión de la cuerda resultante.

Como siempre, feliz de responder cualquier otra pregunta.

Si tira de una cuerda sin masa desde ambos extremos, la tensión en cada punto debe ser la misma. ¿Por qué?

Porque la fuerza neta sobre cualquier segmento de la cuerda debe ser cero, porque es un objeto sin masa y, por lo tanto, la tensión debe ser la misma en todos los puntos.

En una cuerda con masa, podemos aplicar dos fuerzas diferentes en los dos extremos de la cuerda por lo que tiene una aceleración neta.

Ahora, la tensión en cualquier punto debe ser tal que pueda explicar la aceleración de la masa de ese segmento de la cuerda.

Suponga que la cuerda tiene una longitud L y una densidad de masa constante g. Ahora, aplicas una fuerza F sobre la derecha. La aceleración de toda la cuerda es (F/gL).

Si quieres encontrar la tensión a una distancia L/4 de la derecha. ¿Qué será?

F - T = ma i. e T = F - (gL/4)*(F/gL) = 3F/4.

Tomas una distancia diferente y la tensión sería diferente porque está arrastrando una longitud diferente de la cuerda.

Piense en la cadena como muchos bloques con pequeños enlaces adjuntos en el medio.

Imagine una cuerda que tiene una masa finita y se coloca en un espacio libre de gravedad y tiene una velocidad constante. Ahora tome la cuerda como su sistema y ejerza una fuerza externa en un extremo de la cuerda, luego la cuerda soportará algo de tensión en el punto de aplicación. de fuerza. Como la cuerda es el sistema, la tensión es la fuerza interna. Ahora toda la cuerda tendrá la misma aceleración. En el punto de aplicación de la fuerza, imagine una sección infinitesimal de cuerda, por la tercera ley de Newton sabemos que la sección ejercerá una fuerza igual y opuesta sobre el agente que aplica la fuerza. Como toda la cuerda está obligada a moverse con esa sección infinitesimal,entonces esa sección aplicaría una fuerza en la sección infinitesimal adyacente de la cuerda, pero esta fuerza sería menor que la fuerza externa misma, ya que la sección del punto de aplicación de la fuerza externa se acelera y la aceleración de toda la cuerda es la misma. De la misma manera, la fuerza aplicada por estas secciones infinitesimales disminuiría en un orden definido que se puede calcular utilizando los conceptos básicos de cálculo. Por lo tanto, la tensión en una cuerda que tiene una masa finita no es la misma en todas partes.