¿Deducción de la ecuación de van der waals?

Question

¿Deducción de la ecuación de van der waals?

Prasad Mani

Asumió que las fuerzas intermoleculares dan como resultado una presión reducida en las paredes del recipiente que contiene un gas real. También que las moléculas tienen un tamaño finito, lo que significa que no tienen todo el volumen del recipiente para ellas solas; algo menos que eso. Así que cuando tuvo en cuenta el volumen reducido por $V-nb$ , por qué no hizo $P-\frac{an^2}{v^2}$ y en su lugar, hizo lo siguiente: Contabilizó el volumen reducido primero con $V-nb$ , luego usó

PAG (V - norte b) = norte R T

$P(V-nb) = nRT$ y luego

PAG = \frac{norte R T}{V - norte b},

$P=\frac{nRT}{V-nb},$ luego dijo que la presión real es menor que la presión del gas ideal en una cantidad

\frac{a n^{2}}{V^{2}}

$\frac{an^2}{V^2}$ de lo que sigue lo siguiente

{PAG}_{r mi a yo} = \frac{norte R T}{V - norte b} - \frac{a {norte}^{2}}{V^{2}}

$P_{real}=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{an^2}{V^2}$ y por lo tanto

({PAG}_{r mi a yo} + \frac{a {norte}^{2}}{V^{2}}) (V - norte b) = norte R T .

$(P_{real}+\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT.$

Mi pregunta es: ¿ cuál es la lógica detrás de esto? ¿Y si lo hiciera al revés? lo que significa corregido por la presión reducida primero y luego corregido por el volumen reducido que habría dado los siguientes pasos

Corrección para la presión PRIMERO (reduciendo la presión ideal en una cantidad $\frac{an^2}{V^2}$ )

V = \frac{norte R T}{({PAG}_{i d mi a yo} - \frac{a {norte}^{2}}{V^{2}})}

$V=\frac{nRT}{(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})}$

Luego corrigiendo el volumen reduciéndolo en una cantidad $nb$ , donación

V = \frac{norte R T}{({PAG}_{i d mi a yo} - \frac{a {norte}^{2}}{V^{2}})} - norte b

$V=\frac{nRT}{(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})}-nb$

donación

({PAG}_{i d mi a yo} - \frac{a {norte}^{2}}{V^{2}}) (V + norte b) = norte R T

$(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})(V+nb)=nRT$

Si la ecuación de estado es

{PAG}_{r mi a yo} V_{r mi a yo} = norte R T

$P_{real}V_{real}=nRT$ o

{PAG}_{i d mi a yo} V_{r mi a yo} = norte R T

$P_{ideal}V_{real}=nRT$ o

{PAG}_{r mi a yo} V_{i d mi a yo} = norte R T

$P_{real}V_{ideal}=nRT$ ??

usuario115350

Creo que podría hacer eso. Pero los datos no coincidirán con los datos de prueba.

Prasad Mani

Eso suena tan mal, lamento decirlo. Él dice que la presión real es menor que la presión del gas ideal y luego procede a AUMENTAR en

\frac{a n^{2}}{V^{2}}

$\frac{an^2}{V^2}$ en lugar de disminuir?! Si el volumen real disponible y la presión real son menores que las contrapartes ideales, entonces debería haber un signo menos para ambos.

(P_{i d e a l} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}) (V - n b) = n R T

$(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT$

usuario115350

Creo que no entendiste lo ideal y lo real aquí.

P_{i d e a l} = \frac{n R T}{V}

$P_{ideal}=\frac{nRT}{V}$ y

P_{r e a l} = P_{i d e a l} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}

$P_{real}=P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2}$ . Pero debido a su modificación del volumen, la presión real se convierte en

P_{r e a l} = \frac{n R T}{V - n b} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}

$P_{real}=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{an^2}{V^2}$ . van der Waals no estaba contento con el estado de ecuación del gas ideal y lo modificó. El estado de la ecuación se usa para el gas real, aunque también sabemos que no es exacto.

Prasad Mani

Lo corregí; fue un error tonto. De hecho, tengo bastante claro qué son la presión y el volumen reales e ideales. Mi pregunta era sobre el orden en que realizó la corrección que parecía arbitraria. Si corrige la presión PRIMERO y luego el volumen, obtiene la última ecuación que escribí en mi pregunta.

usuario115350

Si cambia el orden, no debería ser diferente. Vas primero por corrección de presión

P_{r e a l} = \frac{n R T}{V} - \frac{a n^{2}}{V^{2}}

$P_{real}=\frac{nRT}{V}-\frac{an^2}{V^2}$ y luego ir en segundo lugar para corregir el volumen. Observo que en su última ecuación, está usando una presión ideal que no pretende van der Waals.

Prasad Mani

@user115350, vea las ediciones

usuario115350

Gracias. Veo que usas

V_{r e a l}

$V_{real}$ y volumen correcto

V = \frac{n R T}{(P_{i d e a l} - \frac{a n^{2}}{V^{2}})} - n b

$V=\frac{nRT}{(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})}-nb$ . Leyendo el libro de texto, "Un fluido no puede comprimirse hasta el volumen cero, hemos limitado el volumen a un valor mínimo de Nb, en el que la presión llega al infinito". Entonces la corrección de volumen que hiciste no es correcta.

Respuestas (1)

¿Deducción de la ecuación de van der waals?

Creo que podría hacer eso. Pero los datos no coincidirán con los datos de prueba.
Eso suena tan mal, lamento decirlo. Él dice que la presión real es menor que la presión del gas ideal y luego procede a AUMENTAR en $\frac{an^2}{V^2}$ en lugar de disminuir?! Si el volumen real disponible y la presión real son menores que las contrapartes ideales, entonces debería haber un signo menos para ambos. $(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})(V-nb)=nRT$
Creo que no entendiste lo ideal y lo real aquí. $P_{ideal}=\frac{nRT}{V}$ y $P_{real}=P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2}$ . Pero debido a su modificación del volumen, la presión real se convierte en $P_{real}=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{an^2}{V^2}$ . van der Waals no estaba contento con el estado de ecuación del gas ideal y lo modificó. El estado de la ecuación se usa para el gas real, aunque también sabemos que no es exacto.
Lo corregí; fue un error tonto. De hecho, tengo bastante claro qué son la presión y el volumen reales e ideales. Mi pregunta era sobre el orden en que realizó la corrección que parecía arbitraria. Si corrige la presión PRIMERO y luego el volumen, obtiene la última ecuación que escribí en mi pregunta.
Si cambia el orden, no debería ser diferente. Vas primero por corrección de presión $P_{real}=\frac{nRT}{V}-\frac{an^2}{V^2}$ y luego ir en segundo lugar para corregir el volumen. Observo que en su última ecuación, está usando una presión ideal que no pretende van der Waals.
Gracias. Veo que usas $V_{real}$ y volumen correcto $V=\frac{nRT}{(P_{ideal}-\frac{an^2}{V^2})}-nb$ . Leyendo el libro de texto, "Un fluido no puede comprimirse hasta el volumen cero, hemos limitado el volumen a un valor mínimo de Nb, en el que la presión llega al infinito". Entonces la corrección de volumen que hiciste no es correcta.

jamals · Answer 1

La derivación más formal de la ecuación de estado de van der Waals utiliza la función de partición. Si tenemos una interacción. $U(r_{ij})$ entre partículas $i$ y $j$ , entonces podemos expandir en la función de Mayer ,

F_{i j} = {mi}^{- β tu (r_{i j})} - 1

$f_{ij}= e^{-\beta U(r_{ij})} -1$

la función de partición del sistema, que por $N$ partículas indistinguibles está dada por,

Z = \frac{1}{norte! λ^{3 norte}} \int \prod_{i} d^{3} r_{i} (1 + \sum_{j > k} F_{j k} + \sum_{j > k, yo > metro} F_{j k} F_{yo metro} + \dots)

$\mathcal Z = \frac{1}{N! \lambda^{3N}} \int \prod_i d^3 r_i \left( 1 + \sum_{j>k}f_{jk} + \sum_{j>k,l>m} f_{jk}f_{lm} + \dots\right)$

dónde $\lambda$ es una constante conveniente, la longitud de onda térmica de De Broglie y esta expansión se obtiene simplemente mediante la serie de Taylor de la exponencial. el primer termino $\int \prod_i d^3 r_i$ simplemente da $V^N$ , y la primera corrección es simplemente la misma suma cada vez, contribuyendo,

V^{norte - 1} \int d^{3} r F (r) .

$V^{N-1}\int d^3 r \, f(r).$

La energía libre se puede derivar de la función de partición, que nos permite aproximar la presión del sistema como,

pag = \frac{norte k_{B} T}{V} (1 - \frac{norte}{2 V} \int d^{3} r F (r) + \dots) .

$p = \frac{Nk_B T}{V} \left( 1-\frac{N}{2V} \int d^3r \, f(r) + \dots\right).$

Si usamos la interacción de van der Waals ,

tu (r) = {\begin{matrix} \infty & r < r_{0} \\ - {tu}_{0} {(\frac{r_{0}}{r})}^{6} & r \geq r_{0} \end{matrix}

$U(r) = \left\{\begin{matrix} \infty & r < r_0\\ -U_0 \left( \frac{r_0}{r}\right)^6 & r \geq r_0 \end{matrix}\right.$

y evaluamos la integral, encontramos,

\frac{pag V}{norte k_{B} T} = 1 - \frac{norte}{V} (\frac{a}{k_{B} T} - b)

$\frac{pV}{Nk_B T} = 1 - \frac{N}{V} \left( \frac{a}{k_B T}-b\right)$

dónde $a = \frac23 \pi r_0^3 U_0$ y $b = \frac23 \pi r_0^3$ que está directamente relacionado con el volumen excluido $\Omega = 2b$ .

Wow, eso se intensificó rápidamente. Pero afortunadamente lo entendí completamente. Gracias. Solo para referencia futura, no debería usar la derivación que describí en la pregunta, ¿verdad? Porque parece plantear más preguntas de las que responde.
@PrasadMani No hay nada de malo en tratar de razonar al respecto como lo hizo, pero prefiero este enfoque por tres razones: 1) A partir de la expansión matemática entendemos por qué se limita a bajas densidades y altas temperaturas. 2) El enfoque es fácilmente generalizable. 3) Da una relación entre los coeficientes y el potencial mismo.
En realidad no lo razoné de esa manera; me lo enseñaron hace mucho tiempo. La derivación de stat mech parece ser el camino correcto, ya que la derivación que me enseñaron está plagada de preguntas que destaqué. ¿Y usó solo hasta la corrección de primer orden?

¿Deducción de la ecuación de van der waals?

Prasad Mani

usuario115350

Prasad Mani

usuario115350

Prasad Mani

usuario115350

Prasad Mani

usuario115350

Respuestas (1)

jamals

Prasad Mani

jamals

Prasad Mani

¿Por qué el hidrógeno, el helio y el neón se conocen como gases cuánticos en la literatura química de mediados del siglo XX?

Tasa de acierto de moléculas en una pared

¿La presión es isotrópica en un gas ideal en QM?

¿Cuántos grados de libertad tiene el aire?

Región no física de la energía libre de Helmholtz para el gas de Van der Waals

¿Las partículas de aire "vuelan"? Si no, ¿cómo se mantienen a flote? [duplicar]

¿Qué materiales se utilizan en el plasma no térmico?

Prueba matemática del cambio de entropía no negativo ΔS≥0ΔS≥0\Delta S\geq0

Recomendaciones para el libro de mecánica estadística.

¿Por qué los isótopos más livianos se evaporan más rápido que los isótopos más pesados?