Suma de vectores y traslaciones

Estoy leyendo las conferencias de Feynman y tengo una pregunta sobre el capítulo 11 del volumen I.

En este capítulo, Feynman dice que no todo grupo de números es un vector. Dice que si aplicamos una operación a algunos vectores el resultado es un vector si es invariante a una rotación. Entonces, si defino una operación sobre, digamos, vectores a → y b → , como a → + b → , y obten C → , puedo comprobar si C → es un vector al rotarlo para obtener C ′ → y luego girando a → y b → , Llegar a ′ → y b ′ → y realiza la operación para obtener C ′ → de nuevo. Si ambos C ′ → son iguales, estamos listos para irnos.

Lo que me molesta es que, considerando solo una rotación del sistema de coordenadas, el álgebra vectorial habitual es, de hecho, invariante. Pero no lo es si lo traduzco. Lo que encuentro es que la suma de vectores no es invariante a las ecuaciones 11.2 en el texto de Feynman:

X ′ = X − A

y ′ = y

z ′ = z

Si agrego, por ejemplo a → = ( 1 , 2 ) y b → = ( 2 , 1 ) yo obtengo a → + b → = C → = ( 3 , 3 ) . Si aplico la transformación anterior a C → Yo obtengo:

C → ′ = ( 0 , 3 )

Por otro lado, si aplico la transformación a a → y b → antes de agregar, obtengo: a → ′ = ( − 2 , 2 ) y b → ′ = ( − 1 , 1 ) . Si los agrego, mi resultado es:

C → ′ = ( − 3 , 3 )

Como puede ver, la transformación no es invariante frente a la suma de vectores.

¿Hay alguna razón por la que la traducción no sea importante para el argumento de Feynman? En la primera parte de la conferencia, parece dar a entender que tanto la simetría espacial como la rotacional son importantes.

Gracias.

¿Qué haces cuando dices "lo traduzco"? Muéstranos por qué eso no es invariante.
En general, es una buena idea incluir un extracto (dentro de límites razonables) de en qué basa su pregunta. Hace que sea más fácil para las personas ver las ecuaciones y responder a su pregunta. A mucha gente no le gusta hacer clic fuera del sitio. meta.math.stackexchange.com/questions/5020/…
Gracias a ambos por los consejos. He editado la pregunta para hacer explícito lo que quiero decir con "traducirlo" y para incluir las ecuaciones de Feynman

Respuestas (2)

Estrictamente hablando, los vectores no se pueden traducir. La traducción no está definida en espacios vectoriales. Todos los vectores tienen sus colas en el origen. Esto queda claro por la forma en que escribimos los vectores:

A → = A X X ^ + A y y ^ + A z z ^

¿Cómo traduzco eso? Puedo multiplicar por un escalar. Puedo formar puntos y productos cruzados. Puedo calcular una magnitud. Puedo girarlo. Pero no puedo traducirlo. Su cola está implícitamente fijada en el origen.

El hecho de que los físicos puedan traducir vectores de manera útil es una peculiaridad del espacio euclidiano que está fuera de la naturaleza matemática de los vectores. Lo que estamos haciendo sin saberlo es definir un espacio vectorial en cada punto del espacio para que podamos definir vectores en cualquier lugar. Pero luego necesitamos una regla que diga cómo mover un vector de un espacio vectorial a otro. La regla para el espacio euclidiano es tan simple que normalmente no la mencionamos: los componentes en la nueva ubicación son los mismos que los componentes de la ubicación anterior. Pero todo esto está fuera de las matemáticas de los espacios vectoriales.

Ah, creo que debe malinterpretar al Sr. Feynman.

Él dice: "¿Estos forman un vector? "Bueno", podríamos decir, "son tres números, y cada tres números forman un vector". ¡No, no todo tres números forman un vector!, para que sea un vector, no sólo debe haber tres números, sino que estos deben estar asociados a un sistema de coordenadas de tal manera que si giramos el sistema de coordenadas, los tres los números "giran" unos sobre otros, se "mezclan" entre sí"

Para cualquier vector, existe una base ortonormal (tal vez estándar), y los vectores se pueden expresar usándola, por ejemplo, en el sistema de coordenadas cartesianas, un vector a → se puede expresar como a → = a X X ^ + a y y ^ + a z z ^ . Asumir b → = b X X ^ + b y y ^ + b z z ^ es otro vector, entonces, a → + b → debe ser un vector ya que es una transformación lineal. Definimos un nuevo vector C → = a → + b → = ( a X + b X , a y + b y , a z + b z ) . Claramente, es exactamente un vector y satisface cualquier regla que un vector deba cumplir, por ejemplo, la rotación. Entonces, decimos los grupos de números ( a X + b X , a y + b y , a z + b z ) constituye un vector como se indica en el orden (el orden de los tres números es importante). Pero, no cada tres números forman un vector, como ( a y + b y , a X + b X , a z + b z ) . Entonces, lo que Feynman quiere decir es que el orden de los tres números entre paréntesis no es comunicativo, y nada más. Generalmente, cualquier grupo de números puede formar un vector.

No creo que te entienda. Estas diciendo eso ( a y + b y , a X + b X , a z + b z ) no es un vector? Creo que es un vector, pero no a → + b →
Sí, es un vector. Entonces, ¿qué quiere decir Feynman con "no cada tres números forman un vector"? Solo quiere enfatizar que los tres números no son comunicativos para un vector dado.
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