Rotación de un vector

Rotación de un vector de 3

Encontraremos una expresión para la rotación de un vector.$\mathbf{r}=(x_1,x_2,x_3)$alrededor de un eje con vector unitario$\mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3)$a través de un ángulo$\theta$, como se muestra en la Figura .

el vector$\mathbf{r}$se analiza en dos componentes

$$\begin{equation} \mathbf{r}=\mathbf{r}_\|+\mathbf{r}_\bot \tag{01} \end{equation}$$ uno paralelo y el otro normal al eje $\mathbf{n}$respectivamente $$\begin{eqnarray} &\mathbf{r}_\| &=(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{n} \tag{02a}\\ &\mathbf{r}_\bot &=(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\times \mathbf{n}= \mathbf{r}-(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{n} \tag{02b} \end{eqnarray}$$ Si $\mathbf{r}$se gira a $\mathbf{r}^{\prime}$ $$\begin{equation} \mathbf{r}^{\prime}=\mathbf{r}^{\prime}_\|+\mathbf{r}^{\prime}_\bot \tag{03} \end{equation}$$ entonces la componente paralela permanece sin cambios $$\begin{equation} \mathbf{r}^{\prime}_\|=\mathbf{r}_\| =(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{n} \tag{04} \end{equation}$$ mientras que el componente normal $\mathbf{r}_\bot =(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\times \mathbf{n}$es rotado por el ángulo $\theta$, por lo que teniendo en cuenta que este vector es perpendicular a $\mathbf{n}\times\mathbf{r}$y de igual norma $$\begin{equation} \left\|(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\times \mathbf{n}\right\|=\left\|\mathbf{n}\times\mathbf{r}\right\| \tag{05} \end{equation}$$ encontramos la expresión, ver Figura siguiente $$\begin{eqnarray} \mathbf{r}^{\prime}_\bot &=& \cos\theta\left[(\mathbf{n}\times\mathbf{r})\times \mathbf{n}\right]+\sin\theta\left[\mathbf{n}\times\mathbf{r}\right]\nonumber\\ &=& \cos\theta\left[\mathbf{r}-(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{n}\right]+\sin\theta\left[\mathbf{n}\times\mathbf{r}\right]\nonumber\\ &=& \cos\theta\;\mathbf{r}-\cos\theta(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\mathbf{n}+\sin\theta\left[\mathbf{n}\times\mathbf{r}\right] \tag{06} \end{eqnarray}$$

y así finalmente la expresión vectorial

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,12px]{\mathbf{r}^{\prime}= \cos\theta \cdot\mathbf{r}+(1-\cos\theta)\cdot(\mathbf{n}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{r})\cdot\mathbf{n}+\sin\theta\cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{r})} \tag{07} \end{equation}$$

De esto el$3\times3$lecturas de la matriz de rotación

$$\begin{equation} \mathbb{A}\left(\mathbf{n}, \theta\right) = \text { 3D-rotation around axis} \:\:\mathbf{n}=\left(n_{1}, n_{2},n_{3}\right)\:\: \text{through angle} \:\:\theta \end{equation}$$ $$\begin{equation} = \bbox[#FFFF88,12px]{ \begin{bmatrix} \cos\theta+(1-\cos\theta)n_1^2&(1-\cos\theta)n_1n_2-\sin\theta n_3&(1-\cos\theta)n_1n_3+\sin\theta n_2\\ (1-\cos\theta)n_2n_1+\sin\theta n_3&\cos\theta+(1-\cos\theta)n_2^2&(1-\cos\theta)n_2n_3-\sin\theta n_1\\ (1-\cos\theta)n_3n_1-\sin\theta n_2&(1-\cos\theta)n_3n_2+\sin\theta n_1&\cos\theta+(1-\cos\theta)n_3^2 \end{bmatrix}} \tag{08} \end{equation}$$

En general cambia aunque la razón no es precisamente porque cambien sus proyecciones.

Por ejemplo. Comienza con un vector (digamos el campo eléctrico de un capacitor de placas paralelas) en el plano$xy$. Luego rotas el sistema de coordenadas en un ángulo. Se cambian los componentes del vector en el nuevo sistema de coordenadas. Pero el vector no cambió en absoluto (no moviste el capacitor). Esto se llama rotación pasiva.

Por otro lado, si mantiene el eje fijo y gira el vector (gira el condensador real), cambiará (a menos que gire por$2\pi$). Esta es una rotación activa.

Por lo general, hay dos tipos de transformación que no cambian el resultado de la situación. Piense en un vector de fuerza$\vec{F}$pasando por un punto$\vec{r}_A$.

• Cualquier traslación a lo largo de la línea de la fuerza, en la dirección$\vec{e} = \frac{\vec{F}}{\| \vec{F} \|}$no cambiará el resultado.

• Cualquier rotación sobre la línea de la fuerza tampoco cambiaría el resultado.

• Lo único que marca la diferencia son las traslaciones perpendiculares a la línea y, por lo tanto, el producto vectorial al observar los pares.$\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$.

• Y las rotaciones perpendiculares a la línea cambian las cosas.