Suma de condensación de Bose-Einstein a integral

Tengo una pregunta sobre la condensación de Bose-Einstein. Es decir, la gente dice que si pasamos de la sumatoria sobre el número de partículas a una integral usando la densidad de estados, cometemos un error en el cálculo si la temperatura está por debajo de la temperatura crítica y por lo tanto escribimos:

norte = norte 0 + norte mi X .

Dónde norte es el número total de partículas, norte 0 es el número de partículas en el estado fundamental y norte mi X es el número de partículas en los estados excitados (dado por la integral que contiene la densidad de estados).

Ahora mi pregunta es: ¿por qué algunas referencias como la física estadística de Yoshioka dicen que extrañamos las partículas en el estado fundamental ya que D ( ϵ ) = 0 para la densidad de estados mientras esta expresión está dentro de una integral? ¿Alguien podría dar una prueba o referencia más rigurosa para esto?

Respuestas (1)

Si por ejemplo D ( ϵ ) ∝ ϵ entonces ∫ 0 Δ ϵ d ϵ D ( ϵ ) ≈ 0 para cualquier pequeño Δ ϵ . Pero lo que hay que tener en cuenta es que la expresión adecuada es

norte = ∑ i = 1 ∞ norte i ≠ ∫ 0 ∞ d ϵ D ( ϵ )
Aproximar la suma por la integral no se cumple si norte 1 es O ( norte ) , porque la densidad no asigna peso al estado fundamental (en ϵ = 0 ). Si cuentas las ocupaciones en el intervalo [ 0 , Δ ϵ ] discretamente siempre tienes norte 1 = O ( norte ) en la suma, por pequeña que sea Δ ϵ es. Pero usando la integral de la derecha obtienes ∫ 0 Δ ϵ d ϵ D ( ϵ ) ∝ Δ ϵ 3 / 2 → 0 como ϵ → 0 .

¿Cómo defines Δ ϵ 'pequeño'? ¿Significa esto que está entre el estado fundamental y el primer estado excitado? Gracias ya por la respuesta.
@dani para aproximar la suma por una densidad continua, debe asumir que hay muchos niveles de energía dentro del intervalo Δ ϵ . De lo contrario D ( ϵ ) nunca sería suave. Actualicé la respuesta.
Suma de condensación de Bose-Einstein a integral
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v