¿Cómo encontrar el acoplamiento de Higgs con una matriz de mezcla?

Se sabe que los acoplamientos al Higgs son proporcionales a la masa de los fermiones;

$$g_{hff}=\frac{M_f}{v}$$ dónde $v$es el VEV del campo de Higgs. Estoy tratando de averiguar por qué esto es cierto sin construir explícitamente todos los términos de interacción .

Primero puedo decir que, el lagrangiano, al no tener masa requiere el campo de Higgs$\vec{\phi}=\left( \begin{array}{c} \phi^1\\ \phi^2\\ \end{array} \right)$(doblete débil) que añade una parte de ruptura de simetría y un acoplamiento a los fermiones.

El acoplamiento es proporcional a

$$g(\bar{\psi}_L\vec{\phi}\psi_R+\bar{\psi}_R\phi^\dagger\psi_L)$$ dónde $\psi_L$es un doblete débil $\psi_R$un singlete débil.

Entonces, después de la ruptura de la simetría, podemos escribir el campo de Higgs como$\vec{\phi}=\left( \begin{array}{c} 0\\ v+h(x)\\ \end{array} \right)$por el local$SU(2)_W$simetría. Por lo tanto, el acoplamiento se convierte en

$$gv(\bar{\psi}^{(2)}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi^{(2)}_L)+gh(\bar{\psi}^{(2)}_L\psi_R+\bar{\psi}_R\psi^{(2)}_L)$$ donde el $(2)$exponente indica el componente en el doblete. Luego, podemos reescribir los campos como campos de Dirac: $\psi=\psi^{(2)}_L+\psi_R$lo que da $$gv\bar{\psi}\psi+gh\bar{\psi}\psi$$

A partir de lo cual identificamos la masa del campo fermiónico como$M_f=gv$lo que implica que el acoplamiento a los higgs es

$$g_{hff}=\frac{M_f}{v}$$

Por supuesto, solo consideré una familia de fermiones, así que mi pregunta es ¿cómo generalizo el argumento cuando el acoplamiento incluye la mezcla de familias?

$$g(\bar{L}\vec{\phi}\Lambda R+\bar{R}\Lambda^\dagger\vec{\phi}^\dagger L)$$ dónde $\Lambda$es una matriz de mezcla familiar. ¿Es sencillo a partir de la diagonalización de la matriz de mezcla?