¿Son las líneas de campo iguales a las trayectorias de una partícula con velocidad inicial cero?

No, la declaración es falsa incluso en el caso eléctrico. Al principio, la aceleración es$\vec a \sim \vec E$por lo que tienen la misma dirección en$t=0$: las tangentes concuerdan.

Sin embargo, tan pronto como la partícula alcanza una velocidad distinta de cero$\vec v \neq 0$, su aceleración sigue siendo$\vec a\sim \vec E$, en la dirección de las líneas de campo, sin embargo, su velocidad, y es la velocidad la que determina la dirección tangente de la trayectoria, no es proporcional a la aceleración.

De nuevo, las líneas de campo tienen dirección correspondiente a la aceleración en el punto dado pero las trayectorias tienen direcciones dadas por la velocidad y$\vec v$no es múltiplo de$\vec a$en general.

Imagina un ejemplo simple arriba. Si comienzas con una carga positiva y$\vec v=0$y muy cerca de la fuente de carga positiva de arriba, se repelerán y la carga en movimiento alcanzará rápidamente una gran velocidad. Esta velocidad actuará como inercia que hará que las trayectorias sean mucho más rectas que la línea de campo y la discrepancia se hará más extrema si la posición inicial de la carga en movimiento estará aún más cerca de la fuente positiva.

Solo obtendría la relación "las líneas de campo son iguales a las trayectorias" si detuviera la carga de prueba en movimiento en cada momento y permitiera que el campo se acelerara lentamente desde cero después de cada tiempo infinitesimal.

Como señala Luboš, en cualquier situación con líneas de campo no rectas, la inercia de la partícula hará que "patine" a través de las líneas de campo y que la trayectoria se aleje de la línea de campo.

Si tiene la intención de una analogía física o representación de las líneas de campo, hay una relativamente similar que se mantiene. Si desea eliminar los efectos de inercia de una analogía mecánica, una forma de hacerlo es introducir un término de amortiguamiento proporcional a la velocidad , en lugar de la aceleración, que empequeñece la inercia. Por lo tanto, dada una configuración de campo eléctrico, considere una partícula de masa$m$sujeto al campo además de una fuerza de amortiguamiento de constante$R$:

$$m\mathbf{a}-R\mathbf{v}=\mathbf{F},$$

y suponga que la partícula es lo suficientemente ligera y está sujeta a un amortiguamiento lo suficientemente fuerte como para que$m$se puede suponer que es cero en esta ecuación. (Tenga en cuenta, sin embargo, que no puede comparar$m$y$R$debido a sus diferentes dimensiones. Esto significa que debe postular que$m/R$, que tiene dimensión de tiempo, es mucho más pequeño que cualquier tiempo de interés en su sistema. Peor aún, los "tiempos característicos" del sistema están mal definidos hasta ahora y deben definirse en términos de la resolución espacial que considere aceptable).

Sin embargo, una vez que haces esto, la trayectoria de la partícula sigue el campo, ya que

$$\mathbf{v}\approx-\frac{q}{R}\mathbf{E}.$$ Esto se puede reformular físicamente diciendo que si la partícula amortiguada es lo suficientemente ligera como para que siempre vaya a la velocidad terminal local dictada por la fuerza y ​​el amortiguamiento, entonces su trayectoria sigue las líneas de campo.

Aquí hay una simulación que parece ser razonable (el argumento señalado por Lubos-Motl). Sin embargo, no tengo el código fuente para verificar que los cálculos se realicen correctamente:

Trayectoria de una carga de prueba en un campo eléctrico

Para una referencia de que su afirmación es un concepto erróneo (excepto en algunos casos especiales) hay, por ejemplo: " Teoría electromagnética intermedia " de JVStewart Página 58:

Notamos que es un error pensar que las partículas se mueven a lo largo de las líneas de fuerza. Las líneas de fuerza no describen el camino que toma una partícula sino las líneas de fuerza que experimenta.

Como han dicho correctamente otras respuestas, las líneas de campo de un campo eléctrico no son idénticas a las trayectorias de una partícula cargada con velocidad inicial cero (a menos que sean líneas rectas). Solo estoy agregando mi respuesta porque creo que las dos explicaciones más simples al respecto se han perdido en otras publicaciones:

Explicación 1): Si las líneas de campo son curvas, no pueden ser trayectorias de una partícula cargada porque necesita una fuerza centrípeta para moverse en cualquier tipo de curva, es decir, necesita una componente de la fuerza perpendicular a la dirección tangencial. La fuerza sobre las partículas es (por definición de las líneas de campo) siempre tangencial a las líneas de campo, por lo que no puede desempeñar ese papel.

Explicación 2): parece claro por el título que el OP reconoce que si hay algún tipo de velocidad inicial, entonces la partícula no puede viajar en la línea de campo (suponiendo líneas de campo curvas). Ahora suponga que colocamos una carga positiva en el punto P como en la imagen con velocidad inicial cero.

Un poco más tarde, la carga estará en el punto Q, pero esta vez tendrá cierta velocidad v en cierta dirección debido al movimiento hasta el momento. Esta "velocidad inicial en el punto Q" significa que no puede seguir la línea de campo. Por lo tanto, las líneas de campo curvas no pueden ser trayectorias de las partículas.

Déjame hacerlo simple. ¿Qué son las líneas de fuerza eléctricas? Son líneas en las que se mueve una carga +ve. Consideremos una carga +ve y se emiten líneas de fuerza (campo). Si mantenemos otra carga +ve en cualquier línea de fuerza (línea de campo), se aleja en cierta trayectoria. ¿Qué pasaría si se mantuviera más cerca de la primera carga +ve? También traza la misma trayectoria (considerando que la mantuvo en la misma línea). Entonces, lógicamente, las líneas de campo de un campo eléctrico son idénticas a las trayectorias de una partícula cargada con velocidad inicial cero.

Para obtener más información, creo que ha oído hablar de un experimento en magnetismo en el que se pasa un cable conductor a través del centro de un papel que contiene rellenos de hierro de forma perpendicular. Los rellenos se alinean a lo largo del campo. Ahora, considere lo mismo con el campo eléctrico y los rellenos de hierro son cargas eléctricas.