¿Son consistentes las convenciones geométricas y físicas diferenciales para las derivadas covariantes?

En un entorno geométrico diferencial, la derivada covariante se puede definir como un mapa ∇ X : Γ ( T METRO ) → Γ ( T METRO ) , para cualquier campo vectorial X ∈ Γ ( T METRO ) , cumpliendo ciertas condiciones. En otras palabras, para cualquier campo vectorial, asigna campos vectoriales a otros campos vectoriales. Luego, esta definición se extiende fácilmente a mapas entre campos tensoriales arbitrarios. Dada una base local { ∂ i } i alrededor de algunos pag ∈ METRO , se puede caracterizar a través de los símbolos de Christoffel como

(1) ∇ i ∂ j ≡ ∇ ∂ i ∂ j = Γ     i j k ∂ k .
Del mismo modo, obtenemos expresiones locales como
(2) ∇ i Y = ∇ i ( Y j ∂ j ) = ( ∂ i Y j + Y ℓ Y k Γ   ℓ k j ) ∂ j .

Hasta ahora, todo bien. Mi confusión surge al tratar de hacer coincidir esto con la notación utilizada en contextos más físicos. Por ejemplo, considere estas notas de clase ( [29:46] en youtube ). Aquí, denotan la base covariante como S → α , y escribe el símbolo de Christoffel como

(3) Γ   α β γ = S → γ ⋅ ∂ β S → α .
Al escribir esto, asumen que se trata de superficies incrustadas, por lo que tomar la derivada estándar todavía tiene sentido, y puedo hacer coincidir esta expresión con (1) asumiendo que la derivada covariante es la proyección de la derivada estándar en la superficie tangente .

Sin embargo, de (3) se derivan

(4) S → γ ⋅ ( ∇ α S → β ) = S → γ ⋅ ( ∂ α S → β − Γ   α β ω S → ω ) = 0.
Esto parece ahora estar en contraste directo con (1), como S → α en (4) debe corresponder a la base local para el espacio tangente, ∂ i , En 1). De hecho, siguiendo esta notación, ∇ α S → β es normal a la superficie, lo que parece estar en contraste directo con la definición de derivada covariante en (1), un objeto que transforma vectores tangentes en vectores tangentes. Entonces, ¿qué da? ¿Por qué estas dos notaciones aparentemente están en contraste? ¿Existe una forma más formal de comprender con precisión qué tipo de objeto es la derivada covariante en la última convención?

Por "superficies incrustadas", ¿te refieres a una variedad incrustada en el espacio euclidiano? Además, por "derivada estándar", ¿te refieres a la conexión canónica en el espacio euclidiano que surge del isomorfismo natural?
@VincentThacker No estoy completamente seguro de cuál es la formalización de las ideas subyacentes (3) y (4) aquí; eso es, de facto , parte de lo que estoy preguntando aquí, creo. Tengo entendido que "incrustado" se entiende como dices, sí; "derivada estándar" debería significar la derivada direccional tomada en el espacio de incrustación (que creo que también es lo mismo que dices). Entonces con lo que escribo ∂ α S → β aquí
Muy bien, tu ecuación (4) es evidentemente falsa. En general, no hay razón para que la derivada covariante de un vector tenga un producto escalar cero con todos los vectores base. Eso solo será cierto si fuera el vector cero (o normal a la superficie). O la notación es incorrecta o confundiste las cantidades definidas en la variedad con las definidas en el espacio ambiental (euclidiano).
@VincentThacker también lo entiendo. De hecho, en las conferencias vinculadas, dicen que ∇ a S → b es normal a la superficie, lo que parece estar en contraste directo con la derivada covariante como un objeto que, por definición, da como resultado vectores tangentes. Esto me hace pensar que hay una forma diferente de entender la "derivada covariante" en este contexto, que es más o menos lo que estoy preguntando. Aún así, he visto estas reglas de cómo ∇ α actúa sobre objetos con índices elevados/disminuidos con bastante frecuencia en la literatura de física, y fórmulas como (4) parecen una consecuencia directa de esos

Respuestas (1)

He leído el mismo libro que el que vinculaste, y puedo decir que tiene algunas imprecisiones técnicas que se acumulan lentamente hasta la confusión que tienes en este momento. Intentaré enumerarlos en orden. Denotaré la base covariante estándar por mi i , y usaré letras griegas para índices de superficie y alfabeto inglés para índices ambientales (espacio euclidiano).

  1. No existe tal cosa como "vectores base contravariantes". Lo que el libro denomina "vectores de base contravariantes" son en realidad covectores de base. En otras palabras, son formas únicas que son mapas lineales de vectores a escalares. Por lo tanto, expresiones como

    mi i ⋅ mi j = d j i
    son incorrectos porque no puedes tomar el producto escalar de un objeto que ni siquiera es un vector. En cambio, la expresión correcta debería ser
    mi i ( mi j ) = d j i
    donde la forma única mi i está actuando sobre el vector mi j . Las demás expresiones deben modificarse en consecuencia.

  2. Desde el principio, el libro utiliza una definición incorrecta de ∇ i mi j en el espacio euclidiano como

    ∇ i mi j = ∂ mi j ∂ X i − Γ i j k mi k = 0
    lo cual es una evaluación correcta pero una definición incorrecta. El libro tratado mi j como un ( 0 , 1 ) componente tensorial con un índice más bajo, lo que ciertamente es incorrecto ya que mi j es un vector que es ( 1 , 0 ) .
    La forma correcta de definir la derivada covariante de un vector v = v i mi i es
    ∇ i v metro = ( ∇ v ) ( mi i , mi metro ) = ( ∇ v ) i metro = ∂ v metro ∂ X i + Γ i k metro v k ∇ i v = ( ∂ v metro ∂ X i + Γ i k metro v k ) mi metro
    donde se debe tener en cuenta que el v metro y v k son los componentes de v que son números . Por lo tanto, la forma correcta de calcular ∇ i mi j es dejar v = mi j en la definición anterior. Por lo tanto, los componentes son todos cero excepto el j -ésima que es igual a uno. Todos ellos son constantes por lo que el primer término ∂ v metro / ∂ X i es cero Aplicando la misma lógica al segundo término, vemos que el único término que no desaparece en la suma es el j -ésima, que da Γ i j metro ( 1 ) = Γ i j metro . Agregando la base de la segunda línea anterior, tenemos
    ∇ i ( mi j ) = Γ i j metro mi metro = ∂ i mi j
    que es precisamente el de la derivada parcial. Esto es correcto porque la derivada covariante (conexión Levi-Civita) en el espacio euclidiano es simplemente la derivada parcial porque su naturaleza afín proporciona un transporte paralelo canónico. Definitivamente no es cero a diferencia de lo que afirma el libro.

  3. Todo lo anterior conduce a la afirmación incorrecta de que ∇ α mi β es normal a la superficie. Ciertamente no lo es. La derivada covariante de la superficie ∇ α es simplemente la derivada parcial euclidiana a lo largo de la coordenada de superficie s α , con el componente normal eliminado. La razón del error es una vez más porque el libro usó la definición incorrecta.

    ∇ α mi β = ∂ mi β ∂ s α − Γ α β γ mi γ
    lo que lleva a la conclusión incorrecta de que ∇ α mi β = 0 en la superficie. En general, ∂ α mi β vive en el espacio euclidiano ambiental y por lo tanto tiene componentes tanto normales como tangentes a la superficie. La componente normal viene dada por la segunda forma fundamental I α β multiplicado por el vector unitario normal norte ^ , mientras que la componente tangencial es la derivada covariante de la superficie ∇ α mi β = Γ α β γ mi γ , que es exactamente análoga a la definición correcta que di arriba para el espacio euclidiano. Esta fórmula también concuerda precisamente con la de una variedad pseudo-Riemanniana (donde se supone que no existe el espacio euclidiano ambiental). En otras palabras, tenemos
    ∂ α mi β = Γ α β γ mi γ + I α β norte ^ = ∇ α mi β + I α β norte ^

Para más información sobre el primer punto, consulta este post . Para obtener más información sobre por qué la definición del libro es incorrecta, consulte esta publicación . Por último, para las derivaciones correctas, vea este video que lo explica muy claramente.

No entiendo muy bien el primer punto. ¿Cuál es el problema al definir una base dual para los vectores de base covariante (suponiendo que tenemos una métrica de Riemann)? Puedo entender que también se pueden usar formas diferenciales de 1, pero ¿por qué no podemos definir también los "campos vectoriales de base contravariante" a través de mi α = gramo α β mi b con gramo α β componentes de la inversa de la métrica?
Sin embargo, su segundo punto resuena. Si entiendo, está diciendo que los "vectores base covariantes" siguen siendo en última instancia campos vectoriales y, por lo tanto, la derivada covariante debería actuar sobre ellos a través de las reglas estándar (es decir, con el signo más)
@glS Vea la publicación que vinculé: physics.stackexchange.com/a/334230 y las líneas resaltadas en ¡NO! Mi primer punto no está estrictamente relacionado con su pregunta, pero solo quería corregir una cierta confusión que me causó el libro. En cualquier caso, en variedades, hasta donde yo sé, la definición de una forma de la base contravariante se usa como estándar.
@glS Sí, eso es correcto. Alguien más también encontró la misma expresión incorrecta, como se muestra en la tercera ecuación de esta publicación ( physics.stackexchange.com/q/281590 ). El punto es que en el espacio euclidiano, solo hay un tipo de derivada (la derivada parcial ordinaria) porque la conexión afín se proporciona de forma trivial. Es solo que en una superficie incrustada en este espacio, tomamos la derivada a lo largo de la línea de coordenadas de la superficie s α como lo haríamos normalmente, y dividirlo en componentes tangenciales y normales.
@bolbteppa Soy plenamente consciente de lo que acaba de decir. Lo que estoy diciendo es que el i en mi i no es lo mismo que un índice covariante de un componente tensorial. mi i ciertamente no es un ( 0 , 1 ) tensor. Es un vector, con componentes y base como los demás vectores. En múltiples, mi i es por definición ∂ / ∂ X i .
@bolbteppa Con respecto a su primer punto, v = v i mi i es un vector pero v i mi i es un covector. Realmente no son lo mismo. Puedes probar esto alimentando v en la métrica: gramo ( v ) = gramo i j mi i ⊗ mi j ( v k mi k ) = ( gramo i j v j ) mi i . Del mismo modo, para aumentar el índice, introduce un covector en la métrica inversa.
Sin embargo, me pregunto si esto puede tener sentido de una manera diferente. ¿Qué pasa si definimos una derivada covariante que elimina los vectores base, de modo que ∇ i mi j = 0 ? Esta derivada covariante tendría, por lo tanto, símbolos de Christoffel que se desvanecen con esta base, y ∇ i ( V j mi j ) = ( ∂ i V j ) mi j . Al mismo tiempo, al escribir ∂ i ( V j mi j ) = ( ∂ i V j ) mi j + Γ i k j V k mi j , estaríamos trabajando efectivamente con una derivada covariante diferente , la del espacio ambiental plano, que por lo tanto es solo la derivada direccional
eso significaría que el Christoffel Γ i j k en estas expresiones son los Christoffel que caracterizan la derivada covariante ambiental, no los que caracterizan lo que escriben como ∇ . Si luego cambiamos a una variedad incrustada curva, esto ∇ está construido esencialmente de modo que ∇ i mi j es ortogonal a la superficie empotrada, y el resto sigue. Concedido, no vería ∇ i mi j = 0 como consecuencia de mi j tener "índices covariantes", sino más bien como una propiedad definitoria de ∇ , que simplemente se comporta formalmente como uno podría esperar ingenuamente
@glS No estoy muy seguro de lo que estás tratando de decir. Si define la derivada covariante como cero en los vectores base, esencialmente está definiendo ∇ ~ i mi j = ∇ i mi j − Γ i j metro mi metro = 0 , dónde ∇ ~ es su "derivada covariante" y ∇ es la derivada covariante estándar. De un vistazo rápido, parece que ∇ ~ i mi j ni siquiera será un tensor porque Γ i j metro no es un tensor. Por lo tanto, no tiene sentido definirlo de esta manera ya que la idea general de una derivada covariante es mapear tensores con tensores.
@glS Creo que todavía no comprende la idea clave: en el espacio euclidiano, la derivada covariante es la derivada parcial, porque el espacio tangente en cualquier punto es canónicamente isomorfo al propio espacio euclidiano. Este es todo el principio detrás de por qué podemos sumar y restar vectores en diferentes puntos y, a su vez, hacer cálculos vectoriales, en el espacio euclidiano. La definición (incorrecta) del libro será, por lo tanto, trivialmente cero en todas partes. Así que en realidad solo hay una derivada en toda esta situación, que es la que mencioné hace un momento.
@glS En cuanto a la superficie incrustada en el espacio euclidiano ambiental, recuerde que cualquier línea de coordenadas en la superficie también es una línea en el espacio ambiental. Entonces, la "derivada covariante de superficie" es solo el componente tangencial de la derivada con respecto a la línea.
¿Por qué dices que no es una derivada covariante válida? Dejar ∇ sea ​​la derivada covariante estándar en el espacio ambiental plano, por lo tanto igual a la derivada direccional estándar. Dejar ∇ ′ Sea la derivada covariante inducida estándar en la superficie incrustada, la tal que ∇ i mi j = Γ i j k mi k para mi i vectores tangentes a la superficie. Ahora define la conexión. ∇ ″ ≡ ∇ − ∇ ′ . Entonces ∇ i ″ mi j siempre es ortogonal a la superficie incrustada (por lo tanto, cero si también es plana). Estoy diciendo que están usando ∇ ″ .
@glS Veo lo que estás tratando de decir ahora. Sí, su definición es simplemente el componente normal I α β norte ^ . Pero tenga en cuenta que esto solo tiene sentido en una superficie incrustada en el espacio euclidiano. Aplicar esto en un colector no incrustado será trivialmente cero ya que no hay espacio ambiental y componente normal para empezar.
¿Son consistentes las convenciones geométricas y físicas diferenciales para las derivadas covariantes?
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