Soluciones estacionarias

Aquí hay una cita de la sección 10.2 de "Un primer curso de relatividad general" de Schutz:

Definimos un espacio-tiempo estático como aquel en el que podemos encontrar una coordenada de tiempo$t$con dos propiedades: (i) todos los componentes métricos son independientes de$t$, y (ii) la geometría no cambia por la inversión del tiempo,$t \rightarrow -t$.

...

(Se dice que un espacio-tiempo con la propiedad (i) pero no necesariamente (ii) es estacionario ).

Entonces, su declaración

Entonces ϕ se llama solución estacionaria o estado estacionario si todas las t derivadas de ϕ son cero.

ciertamente parece consistente con la descripción de estacionario de Schutz.

Creo que Wikipedia tiene una definición bastante buena para esto:

Un estado estacionario se llama estacionario porque una partícula permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, en todas las formas observables.

Lo que esto significa es que cada cantidad observable que se puede calcular a partir del estado es constante en el tiempo.

En la mecánica clásica, esto es algo trivial porque el estado viene dado por las posiciones y velocidades (o momentos) de todas las partículas en el sistema. En otras palabras, el estado en sí mismo es una cantidad observable y, por lo tanto, como dijiste, un estado estacionario es necesariamente constante. Pero no es particularmente común usar el término "estado estacionario" en la mecánica clásica.

Donde realmente se vuelve útil es en la mecánica cuántica. Aquí, el estado es algo más que posición e impulso. Un estado cuántico contiene información no observable, y esa información puede cambiar con el tiempo incluso si todas las cantidades observables son constantes. Entonces, en mecánica cuántica, "estado estacionario" no significa que todos$t$las derivadas del estado son cero. El criterio matemático correcto es que estos estados son estados propios del hamiltoniano,$H\lvert\psi\rangle \propto \lvert\psi\rangle$.

Independientemente de la interpretación de una ecuación diferencial, tenemos lo siguiente:

Una solución estacionaria de una ecuación diferencial autónoma$F(y(t),\dot y(t))=0$(que no depende explícitamente del tiempo) es una solución que no depende del tiempo.

Así, las soluciones estacionarias son precisamente las soluciones de la forma$y(t)=y_0$, dónde$y_0$resuelve la ecuación no lineal$F(y_0,0)=0$. No es necesario buscar derivadas más altas que las de la ecuación diferencial, aunque todas las derivadas son, por supuesto, cero para una solución constante).

Para una ecuación diferencial de segundo orden$F(y(t),\dot y(t),\ddot y(t))=0$la condición correspondiente en$y_0$es$F(y_0,0,0)=0$.