Solución de Schwarzschild, lado estrés-energía de la ecuación de Einstein

Su pregunta es comprensible: si la métrica está curvada por una masa, ¿no debería haber una masa en el centro, como si hubiera una carga en el centro de un problema de electrostática?
Pero la respuesta es no, porque no hay masa. Dejame explicar.

Al derivar la solución de Schwarzschild, imponemos que , en las Ecuaciones de Einstein (EE),$T^{\mu\nu}=0$: es una solución de vacío, esféricamente simétrica (es la única en realidad, según el teorema de Birkhoff ). Luego imponemos las simetrías al tensor métrico y lo conectamos a nuestro vacío EE para encontrar que solo hay un parámetro libre,$m_0$, el Misner-Sharp """masa""", que es completamente invariante
$\frac{\partial}{\partial t}m_0=\frac{\partial}{\partial r}m_0=0$
y que tiene una forma de
$1-\frac{2m_0}{R}=-g^{\mu\nu}\partial_\mu R \partial_\nu R$
dónde$R$es el coeficiente de la parte angular de la métrica. La métrica de Schwarzschild entonces toma la forma
$ds^2=\left(1-\frac{2m_0}{r}\right)dt^2-\left(1-\frac{2m_0}{r}\right)^{-1}dr^2-r^2\left(d\theta^2+sin^2\theta d\phi^2\right)$.
Ahora a uno le gustaría encontrar un significado físico para$m_0$, y por comparación con el límite newtoniano,$g_{00}\simeq1+\frac{2}{c^2}\frac{-GM}{r}$dónde$M$es la masa de la fuente newtoniana . En unidades dadas por Dios$(c=G=1)$uno puede ver eso$M$es la interpretación newtoniana de$m_0$. Esta es la única razón por la que decimos que$m_0$es una masa: si no tenemos en cuenta a Newton, es solo un parámetro en la métrica.

Editar:
como dije en los comentarios, uno podría decidir estudiar una métrica de Schwarzschild modificada diferente, donde uno impone$T^{\mu\nu}\sim m\delta (\vec{r})$: hay un artículo interesante de Fiziev donde se considera esta alternativa. Tenga en cuenta: este no es el marco matemático ideal que llamamos métrica de Schwarzschild, por lo que la respuesta a su pregunta seguiría siendo no, no hay Dirac-delta en el tensor de tensión-energía de la solución de Schwarzschild .

La solución de Schwarzschild es una solución de vacío. No tiene masa en ninguna parte. Si lo está utilizando para modelar, por ejemplo, un planeta, entonces solo se aplica en la región de vacío fuera del planeta. Por esta razón, prefiero pensar en el parámetro libre en el espacio-tiempo de Schwarzschild como una longitud (el radio de Schwarzschild) en lugar de una masa.

En el caso de un agujero negro, la coordenada r=0 con la singularidad debe eliminarse de la variedad. La curvatura infinita en la singularidad arruina la estructura múltiple. Entonces no puedes poner una función delta en r=0 ya que r=0 no es parte de la variedad.

Para el caso de un planeta o estrella con simetría esférica, el espacio-tiempo de Schwarzschild solo describe la región de vacío fuera de la masa, y dentro de la masa debe usar una solución de Schwarzschild interior apropiada. La solución de vacío es única, pero la solución interior dependerá de los detalles de la distribución de tensión-energía.

Las singularidades en GR son un poco más complicadas que simplemente poner alguna distribución en algún lugar de las ecuaciones. En la teoría de Maxwell, la singularidad no tiene influencia sobre la estructura subyacente. En GR, singularidad significa problemas con la propia estructura subyacente. Singularidad en GR significa literalmente alguna frontera, donde las geodésicas terminan en una cantidad finita de parámetros afines y, sin embargo, es matemáticamente imposible extender el espacio-tiempo para que las geodésicas continúen. Es la frontera donde termina el propio espacio-tiempo.

La distribución como función delta de dirac se define por su comportamiento bajo integración. En la teoría de Maxwell puedes escribir y calcular la carga$q=\int\rho(\vec{x})dV,$incluso si la distribución de carga$\rho$es función delta, porque el espacio sobre el que se está integrando todavía se comporta bien. Esto hace que la función delta de dirac sea un concepto útil. No es así en la relatividad general. En GR hay un problema en la integral de volumen en sí misma, no solo en el integrando. La integral se define solo en el espacio-tiempo, pero el punto singular que le gustaría describir mediante alguna función generalizada no pertenece al espacio-tiempo. La integral simplemente no está definida y realmente necesitaría generalizar la noción de integral (o variedad) en sí misma. No tengo conocimiento de que tal generalización exista.

Editar :

Solo para describir el problema más de cerca, imagine que desea deshacerse del problema de que el punto singular no está en el espacio-tiempo pegando el borde singular. En pocas palabras, tendría que decidir cómo emergerá la geodésica que termina en singularidad en el otro lado. Ahora tomemos por ejemplo una geodésica temporal. En el espacio-tiempo de Schwarschild, esto significaría que la partícula entrante comenzará a alejarse de la singularidad. Esto significa que se volvería similar al espacio o comenzaría a viajar en el tiempo. Como puede ver, toda la idea de la continuación a través de la singularidad es bastante problemática. Lo mejor que podría hacer es que la geodésica permanezca en singularidad, pero el tiempo continuará. Pero debido a que el punto es singular, esto no tiene sentido. ¿Cuál es la noción de tiempo en la singularidad misma? No existe tal cosa, tendrías que inventarlo. Y luego estarías atrapado tratando de construir tus conceptos dentro del punto singular. El espacio-tiempo de Schwarzschild es simplemente irremediable sin modificaciones extensas (y antinaturales).

Pero hay singularidades "similares a una distribución" en GR como, por ejemplo, la singularidad cónica. El espacio-tiempo para la singularidad cónica es plano en todas partes excepto en el hecho de que hay una línea central (similar al espacio) alrededor de la cual el ángulo no es$2\pi$, pero algún número diferente. ¿Cómo continuará la caída de la geodésica después de llegar a la línea central? Una opción sensata es simplemente hacer una línea recta en su gráfico de coordenadas cartesianas. No hay problema en hacer esto. Y si lo hace, puede usar las ecuaciones de campo de Einstein y obtendrá que hay alguna distribución en la tensión-energía en la línea central. Tendrá sentido. Pero no puedes hacer esto por Schwarzschild, allí la singularidad es mucho más grave.

La solución de Schwarzschild en GR solo tiene una singularidad en el origen 𝑟=0:

Dentro del horizonte, la coordenada r de Schwarzschild es temporal, no espacial. Por lo tanto, no es correcto imaginar que como$r\rightarrow0$, uno se está acercando a un punto en el espacio que es el centro de simetría. Como$r\rightarrow0$, uno se está acercando al final de los tiempos, y así es como se representa en un diagrama de Penrose.

Como han señalado otras respuestas, no hay un espacio-tiempo subyacente que se extienda hasta la singularidad. Topológicamente, la singularidad es un agujero recortado en el espacio-tiempo.

Por lo general, las singularidades de tipo Dirac-delta en 3D se pueden detectar haciendo una integral de superficie alrededor de ellas, ya sea muy cerca o en el infinito, y observando que el resultado es distinto de cero.

El teorema de Gauss falla en el espacio-tiempo curvo para cantidades no escalares, porque agregar flujos requiere comparar vectores en diferentes lugares, pero eso solo se puede hacer mediante transporte paralelo, que depende de la ruta. La densidad de masa-energía no es un escalar, es un componente de un tensor de rango 2, por lo que el teorema de Gauss no te da una forma de encontrar la masa-energía dentro de una superficie. Podemos observar el campo gravitatorio distante de un agujero negro y usarlo para encontrar una masa. Conceptualmente, puedes pensar en esta masa como la masa-energía del campo gravitacional dentro y alrededor del agujero negro. Pero el principio de equivalencia garantiza que nunca podremos localizar la masa-energía del campo gravitatorio, ya que el campo gravitatorio en un punto dado siempre puede ser cero si eres un observador inercial (en caída libre).

Un agujero negro de Schwarzschild no es un agujero negro astrofísico. En el espacio-tiempo que describe un agujero negro que se formó por colapso gravitacional, podemos intentar rastrear lo que sucede con la materia que cae. Hay mucha variedad en las cosas que pueden suceder, y no está muy bien establecido, por ejemplo, si la singularidad comienza siendo una singularidad desnuda y luego se convierte en una singularidad espacial más parecida a una singularidad de Schwarzschild. Tampoco sabemos con certeza si inicialmente hay una fuerte singularidad de curvatura, en la que el volumen de una nube de partículas de prueba que caen llega a cero. Un agujero negro de Schwarzschild no tiene una singularidad de curvatura fuerte, tiene una singularidad espaguetizante.

Aunque los detalles del proceso de colapso gravitacional astrofísico realista son una pregunta abierta, probablemente sea más o menos correcto conceptualmente decir lo siguiente. Cuando un agujero negro colapsa, la masa-energía de la materia que cae se convierte en una masa-energía del campo gravitatorio del agujero negro. Debido a los tecnicismos de cómo se expresan las ecuaciones de campo de Einstein, esta energía de campo gravitacional está inherentemente deslocalizada y no aparece como un término en la energía de tensión.