¿Sobre el marco de referencia en la segunda ley de Newton?

Tienes una idea equivocada del espacio-tiempo clásico.$V^4$. No es el producto cartesiano.$\mathbb E^3 \times \mathbb R$.

En cambio, es un haz de fibras.

$$T: V^4 \to \mathbb R$$ tal que cada fibra $\Sigma_t = T^{-1}(t)$, el espacio absoluto en un tiempo fijo $t$, es isomorfo a un espacio euclidiano tridimensional (*) $\mathbb E^3$. La base del paquete, el eje. $\mathbb R$, es el rango del tiempo absoluto $T$que se define hasta una constante aditiva.

La diferencia entre esta noción del espacio-tiempo como un paquete$T: V^4 \to \mathbb R$y un producto escalar trivial$\mathbb E^3 \times \mathbb R$es fundamental: Aquí no hay representación canónica de$V^4$como un producto cartesiano$\mathbb E^3 \times \mathbb R$.

Más precisamente, cada elección de un marco de referencia define tal representación .

Un marco de referencia no es más que un mapa sobreyectivo (suave)

$$\pi : V^4 \to \mathbb E^3$$ tal que $\pi|_{\Sigma_t} : \Sigma_t \to \mathbb E^3$es un isomorfismo de espacios euclidianos (es decir, una isometría afín sobreyectiva), para cada $t\in \mathbb R$.

En esta imagen,$\mathbb E^3$se ve como el espacio de reposo del marco de referencia.

De esta manera el espacio-tiempo$V^4$se identifica con el producto cartesiano$\mathbb R \times \mathbb E^3$por medio de

$$V^4 \ni p \mapsto (T(p), \pi(p)) \in \mathbb R \times \mathbb E^3$$

Sin embargo, existen infinitas identificaciones de este tipo dependiendo de la elección del marco de referencia.

Considere dos marcos de referencia$\pi$y$\pi'$y fijar coordenadas cartesianas ortonormales en los respectivos espacios de descanso$\mathbb E^3$y$\mathbb E'^3$, y utilice el tiempo absoluto definido hasta una constante aditiva como coordenada de tiempo.

Usando el hecho de que$\pi'|_{\Sigma_t}\circ (\pi|_{\Sigma_t})^{-1} : \mathbb E^3 \to \mathbb E'^3$es una isometría afín sobreyectiva, se ve fácilmente que la transformación de coordenadas debe ser de la forma

$$t'=t+c \:,\quad x'_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij}(t) x_j + b_i(t) \tag{1}$$ dónde $R(t) \in O(3)$y $b(t) \in \mathbb R$para cada $t$.

Estas son las transformaciones de coordenadas más generales entre coordenadas cartesianas en reposo con diferentes marcos de referencia.

Para definir la velocidad de una sección

$$\mathbb R \ni t \mapsto \gamma(t) \in \Sigma_t$$ necesita un marco de referencia completo como se indica, no solo un punto de referencia. En efecto, la velocidad de $\gamma$con respecto a $\pi$se calcula como $$\vec{V}_\pi(t) := \frac{d}{dt}\pi(\gamma(t))$$ y, con esta definición, es un vector en el resto del espacio$\mathbb E^3$de$\pi$. Sin embargo, puede verse como un vector en $\Sigma_t$usando el inverso del isomorfismo $\pi|_{\Sigma_t} : \Sigma_t \to \mathbb E^3$. Aprovechando esta identificación, las velocidades de la misma sección pero referidas a diferentes marcos de referencia pueden compararse en el espacio absoluto $\Sigma_t$.

COMENTARIO . No basta con fijar un punto de referencia, eso es un tramo$\mathbb R \ni t \to O(t) \in \Sigma_t$para definir la velocidad de otra sección$\mathbb R \ni t \to \gamma(t) \in \Sigma_t$. Tu idea es llevarte al límite.

$$\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left[\left(\gamma(t+h) -O(t+h)\right) - \left(\gamma(t) -O(t)\right)\right]\:.$$ El caso es que la diferencia $$\left(\gamma(t+h) -O(t+h)\right) - \left(\gamma(t) -O(t)\right)$$ no tiene sentido como los dos vectores $\gamma(t+h) -O(t+h)$y $\gamma(t) -O(t)$pertenecen a diferentes espacios vectoriales. Para hacer sensible esa diferencia es necesario identificar isométricamente los espacios . Esto es exactamente lo que hace la noción de marco de referencia.

Los marcos de referencia inerciales se definen como marcos de referencia donde cada cuerpo aislado se mueve con velocidad constante. Se demuestra fácilmente que esta restricción impone una fuerte restricción a la forma de la transformación de coordenadas (1) entre marcos inerciales que, por lo tanto, se especializa en

$$t'=t+c \:,\quad x'_i = \sum_{j=1}^3 R_{ij} x_j + tv_i + b_i \tag{2}$$

esa es una transformación genérica del grupo de Galileo. Es bueno observar que, salvo isomorfismos, solo hay una estructura afín en el espacio-tiempo clásico tal que las coordenadas cartesianas en reposo con marcos de referencia inerciales junto con el tiempo absoluto como cuarta coordenada definen sistemas de coordenadas afines de esa estructura. Las secciones del espacio-tiempo que son líneas rectas (geodésicas) de esa estructura afín son todas posibles evoluciones inerciales de puntos aislados de materia. A este respecto, la física clásica y GR no son tan diferentes.

Enunciados como la segunda ley de Newton se formulan con esta noción de marco de referencia (si se quiere ser completamente riguroso).

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(*) Un espacio euclidiano $\mathbb E^n$es un espacio afín cuya$n$-espacio dimensional de vectores$T^n$describir las traducciones en$\mathbb E^n$está equipado con un producto escalar positivo.

Me parece que solo se necesita el punto O, en realidad no nos importa la base.

De hecho, nos preocupamos mucho por la base. En mecánica newtoniana, el vector desplazamiento entre un punto y otro en$\mathbb R^3$es de hecho independiente del marco. Este vector de desplazamiento bien podría tener diferentes representaciones en diferentes bases, pero todos esos vectores de desplazamiento son sustancialmente el mismo vector.

No ocurre lo mismo con las derivadas temporales de estos vectores. La derivada temporal de un vector de desplazamiento es una cantidad dependiente del marco, que depende de las velocidades lineal y angular de los observadores. Esto también se aplica a la segunda derivada temporal de un vector de desplazamiento. Dado que la segunda ley de Newton es un enunciado sobre las segundas derivadas en el tiempo, es irrelevante que los vectores de desplazamiento sean sustancialmente los mismos para todos los observadores.