¿Por qué la fuerza es un vector? (Las conferencias de Feynman)

Ok, creo que esta es la respuesta que probablemente estés buscando. Todos los demás están dando respuestas matemáticamente correctas, pero creo que han olvidado que Feynmann tiene una definición divertida de vectores; los define como un objeto de tres componentes que se transforma como$\vec{r}$cuando gira el sistema.

Entonces: Queremos mostrar que$\vec{F}$se transforma como$\vec{r}$hace bajo rotaciones.

Notemos, en primer lugar, que$\vec{v}$es dado por$\frac{d\vec{r}}{dt}$, por lo que se transforma como$\vec{r}$. Más precisamente, si$R$es una matriz de rotación, y$\vec{v}'$es nuestra velocidad transformada, tenemos

Similarmente,$\vec{a}$se transforma como$\vec{r}$, ya que es la segunda derivada de$\vec{r}$. Entonces desde$\vec{F}=m\vec{a}$, también se transforma como$\vec{r}$.

Debo advertirte que estás fusionando aquí dos conceptos:

1) si un determinado objeto es un vector o no un vector o un pseudo-vector .

2) Si una fuerza dada es una fuerza real o una fuerza pseudo/ficticia .

respecto al punto 1): -La definición formal de un vector es que es un elemento-$n$-tupla - de un espacio vectorial que satisface un grupo de axiomas.

No enumeraré todos los axiomas (puede consultarlos en el artículo wiki sobre espacios vectoriales), pero algunos incluyen cosas como, si escala un vector, debería seguir siendo un vector (cierre bajo escala), si agrega dos vectores , la resultante también es un vector (cierre bajo suma) y etc.

Además, este espacio vectorial debe estar equipado con un producto interno (producto escalar) que nos permita medir su magnitud y dirección.

De manera equivalente, uno puede definir, tal como usted indicó, un vector como un objeto que se transforma correctamente bajo la rotación de coordenadas, por ejemplo, como el vector de desplazamiento. No son vectores los que no satisfacen los axiomas anteriores.

Pero hay una tercera categoría llamada pseudo-vectores, son casi como vectores en todo, excepto que se comportan de manera diferente bajo inversión de coordenadas. Por ejemplo, si tienes un vector$\mathbf{A}$apuntando la dirección x positiva, y ahora, si invirtió sus coordenadas, se convertirá en$- \mathbf{A}$en el nuevo sistema que tiene sentido.

Si consideras el objeto

Si aplicó una inversión de coordenadas, ¿cómo$\mathbf{C}$se verá como en el nuevo sistema? como esto

Entonces$\mathbf{C}$no cambia de signo bajo inversión! Tal objeto se llama pseudo-vector.

La fuerza no es más que el vector de aceleración escalado por un factor de$m$(recuerde el cierre bajo el axioma de escala) por lo que hereda de la aceleración todo lo que lo convierte en un vector propio. Entonces, ¿cuál es el trato con la charla de pseudo-fuerza? esto me lleva al punto 2):

-Incluso en el ámbito de la mecánica clásica, las leyes del movimiento de Newton no siempre son válidas. Son válidas solo para los observadores que están en movimiento de velocidad constante. Por lo tanto, para los observadores que están acelerando (girando o moviendo un movimiento de traslación no uniforme, etc.) las leyes se rompen.

Surge una cosa muy peculiar llamada Fuerza Ficticia. Por ejemplo, cuando un autobús se detiene repentinamente, usted y todo lo demás experimentan un empujón hacia adelante. Llamamos a esto pseudo/ficticio por una buena razón. Porque para los observadores en el suelo, las personas en el autobús no son "empujadas" por alguna fuerza, sino que es su inercia combinada con el hecho de que el autobús está desacelerando (ganando velocidad en la dirección opuesta a su dirección de movimiento) lo que les da la ilusión de ser empujado.

Entonces, una pseudofuerza es una fuerza que surge para los observadores que aceleran, y una vez que cambiamos las coordenadas a los observadores en movimiento de velocidad constante, esa fuerza desaparece.

La cosa es que una fuerza es un vector, si una fuerza particular es una fuerza real o una fuerza pseudo/ficticia es otra historia.

Esta es una vieja pregunta que los libros de texto solían tomar en serio.

Desde el punto de vista de la dinámica, se podría suponer$F=m\vec a$o$\mathrm d \vec p/\mathrm d t$y luego una fuerza tiene que ser un vector porque la aceleración y el momento lo son, y eso se debe a que, en última instancia, el desplazamiento (al menos en pequeños intervalos de tiempo) son vectores (o al menos lo son los límites de sus cambios).

Pero puedes tener fuerzas sin dinámica. Entonces, si considera la estática como un tema separado digno de sus propios fundamentos y poder explicativo, entonces necesita una razón completamente separada para que las fuerzas sean un vector. Pero ahora puedes hacer un argumento de simetría. La falta de una velocidad le permite argumentar que las fuerzas deben agregarse como vectores. Y la estática requiere la capacidad de sumar fuerzas para obtener una fuerza total.

Hay muchos argumentos diferentes para el argumento de la simetría estática. Algunos son más fáciles o más limpios, pero solo funcionan para las fuerzas de contacto. Otros son más estirados. Pero todo se reduce a cómo crees que las fuerzas deben agregarse de manera que el resultado respete las simetrías que esperas de la naturaleza. No se deriva de otra cosa en estática porque en estática no tienes$\vec F=m\vec a$y de hecho la estática debería ser compatible con cualquier alternativa a la segunda ley.

La fuerza es un vector porque obedece la ley de superposición a través de la regla del paralelogramo, que también funciona para vectores geométricos. Este resultado era conocido antes de Newton, para el caso de las fuerzas estáticas, e incluyó una "demostración" cuando introdujo el paralelogramo de fuerza en sus Principia Mathematica .

Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Parallelogram_of_force ; el primer enlace lleva a la prueba de Newton del Corolario I: https://en.wikisource.org/wiki/The_Mathematical_Principles_of_Natural_Philosophy_(1729)/Axioms,_or_Laws_of_Motion#Cor1

Nota: a menudo es más conveniente describir los vectores en términos de propiedades del espacio vectorial, como se muestra en el álgebra lineal, que las reglas de transformación de coordenadas que se usaban en trabajos anteriores.

Un escalar en cualquier número de dimensiones necesita solo un número para definirlo completamente. Los escalares comúnmente conocidos son la masa, la temperatura y la presión.

Un vector en N dimensiones necesita N números para especificarlo completamente, pero estos se pueden elegir de muchas maneras: x,y,z o r,theta,phi o r,theta,z.

El sistema de coordenadas ni siquiera tiene que ser ortogonal, sin embargo, a menudo se eligen ejes ortogonales para evitar molestos términos cruzados.

Los vectores de nivel superior son tensores de rango 2, 3 y 4. El estrés (rango 2) y la deformación (rango 2) están relacionados por la rigidez elástica , un tensor de rango 4 con 81 componentes en el espacio tridimensional, sin embargo, muchos de los componentes son 0.

Trabajando en 2 dimensiones Force necesita 2 números para especificarlo y 3 en 3 dimensiones.

Como se indicó anteriormente, la fuerza sigue las leyes aditivas y del paralelogramo para los vectores.

La fuerza necesita ser un vector, es decir, tener componentes en el$d$direcciones del espacio, porque está en relación de dualidad con los desplazamientos en estas$d$direcciones del espacio.

De manera similar, el estrés es un tensor porque está en una relación de dualidad con las deformaciones.

La fuerza es solo un concepto en la mecánica newtoniana. Se dice que el concepto de fuerza ni siquiera es necesario en la mecánica hamiltoniana; sin embargo, es equivalente a la mecánica newtoniana.

La fórmula f = ma es una definición de fuerza; por lo tanto, la propiedad de la fuerza como vector se adquiere sólo a través de una definición de la misma. Entonces, la naturaleza vectorial de la fuerza no es más que la naturaleza vectorial de la aceleración.

La respuesta a "¿Por qué la aceleración es un vector?" sería la misma respuesta a la pregunta "¿Por qué la fuerza es un vector?"