Simulando una onda unidimensional en (un segmento de) una línea infinita

Question

Simulando una onda unidimensional en (un segmento de) una línea infinita

ondas
Física
simulaciones
física computacional

marco disco

Estoy tratando de simular numéricamente un 1-dimensional con una cadena de osciladores armónicos vinculados como se describe aquí (el resultado se puede ver aquí). La simulación se comporta como una onda en un segmento de línea finita con límites fijos o libres (según las condiciones de contorno que establezca): cuando la onda alcanza el borde, rebota (como debería hacerlo por conservación de la energía). Lo que me gustaría hacer es hacer que mi cola de osciladores se comporte como un segmento de una cola infinita de osciladores, eso significa que no debe haber rebotes y la energía debe fluir a través de los límites. Probé algunas estrategias que resultaron no funcionar, como agregar extensiones invisibles de la cola y hacerla más amortiguada (¡en realidad resultó ser equivalente a no agregar la extensión en absoluto!). ¿Alguna idea?

kyle kanos

Parece más un problema computacional que un problema de física. Sin embargo, ¿ha intentado configurar sus osciladores de límite para que tengan el mismo valor que el anterior (es decir,

u_{N} = u_{N - 1}

$u_N=u_{N-1}$ y

u_{1} = u_{2}

$u_1=u_2$ )?

Juan Alexiou

Esta pregunta es más adecuada para scicomp.stackexchange.com/?as=1

Selene Routley

Aunque la respuesta de ja72 muestra que no existe una condición límite para hacer exactamente lo que desea, existen aproximaciones. Le sugiero que busque ideas en el método de propagación del haz: se ha trabajado mucho en el problema de las ondas que rebotan en los límites. Una pérdida que aumenta lentamente en el límite puede absorber una onda sin reflexión (un perfil de pérdida gradual en lugar de un comienzo abrupto de una región con pérdida evita la dispersión de Fresnel) y también se pueden usar "recubrimientos multicapa antirreflexión" numéricos de gran angular. Así que prueba la idea de pérdida de amortiguación de @ja72, pero hazlo en muchas capas, comenzando con...

Selene Routley

...una pérdida muy pequeña para una sección delgada, luego otra sección con una pérdida un poco mayor y así sucesivamente. También aleatorice el grosor de las secciones para evitar resonancias de Bragg en los límites.

Respuestas (1)

Simulando una onda unidimensional en (un segmento de) una línea infinita

Parece más un problema computacional que un problema de física. Sin embargo, ¿ha intentado configurar sus osciladores de límite para que tengan el mismo valor que el anterior (es decir, $u_N=u_{N-1}$ y $u_1=u_2$ )?
Esta pregunta es más adecuada para scicomp.stackexchange.com/?as=1
Aunque la respuesta de ja72 muestra que no existe una condición límite para hacer exactamente lo que desea, existen aproximaciones. Le sugiero que busque ideas en el método de propagación del haz: se ha trabajado mucho en el problema de las ondas que rebotan en los límites. Una pérdida que aumenta lentamente en el límite puede absorber una onda sin reflexión (un perfil de pérdida gradual en lugar de un comienzo abrupto de una región con pérdida evita la dispersión de Fresnel) y también se pueden usar "recubrimientos multicapa antirreflexión" numéricos de gran angular. Así que prueba la idea de pérdida de amortiguación de @ja72, pero hazlo en muchas capas, comenzando con...
...una pérdida muy pequeña para una sección delgada, luego otra sección con una pérdida un poco mayor y así sucesivamente. También aleatorice el grosor de las secciones para evitar resonancias de Bragg en los límites.

Juan Alexiou · Answer 1

Entonces, ¿cuáles deberían ser las condiciones de contorno para un segmento de una línea infinita? Exploremos las opciones ( $u$ es desplazamiento, $u'$ es pendiente y $u''$ es la curvatura):

Extremos fijos: $u(0)=0$ , $u(L)=0$
Extremos del espejo: $u'=0$ , $u'(L)=0$
Extremos libres: $u''=0$ , $u''(L)=0$
Desplazamientos Periódicos: $u(0)=u(L)$ , $u'(0)=u'(L)$
Tensiones periódicas: $u'(0)=u'(L)$ , $u''(0)=u''(L)$

Ninguno de ellos parece funcionar para simular una línea infinita. De hecho, la única forma de simular una línea infinita es asumir que hay algún tipo de periodicidad en la forma y aplicar condiciones de contorno para hacerla cumplir. Así que la respuesta es que no puedes hacerlo.

Recuerda la vieja regla de la física, que cada simetría es una manifestación de algún tipo de ley de conservación. La energía no se conserva en el segmento por lo que no puede haber una simetría para aplicar.

La mejor solución es crear algún tipo de segmento realmente largo, con extremos libres, agregar amortiguadores y resortes ligeros en el extremo, y solo mostrar una pequeña parte de eso lejos de los extremos.

Gracias por su respuesta. Aunque puede ser imposible obtener este tipo de comportamiento por medio de condiciones de contorno en $u$ y sus derivados tal vez todavía sea posible pensar en estrategias diferentes (y posiblemente baratas). Crear cadenas muy largas aumenta mucho el número de iteraciones, ¿es realmente necesario? Agregar amortiguación parece no funcionar: el punto donde la amortiguación es alta actúa como un límite y refleja la onda.
Tal vez pueda hacer que los osciladores invisibles se comporten simétricamente con los visibles para que la onda se cancele cuando se encuentra con su contraparte especular ...
@Marco Solía trabajar con vibraciones en líneas de transmisión, donde las ondas tendrían que disiparse en los extremos o derribarían las estructuras, y la solución típica involucraba amortiguadores sintonizados en masa. Un solo amortiguador DOF con la impedancia mecánica correspondiente absorbería puramente toda la energía de una sola onda de frecuencia. Para su caso, tiene múltiples frecuencias con las que lidiar. Mi experiencia me dice que los amortiguadores de culombio funcionan mejor en este caso.
La mejor amortiguación que puedo hacer es establecer v=0 en un nodo, pero esto hará que el nodo sea un reflector de la onda.
Pruebe una fuerza de amortiguamiento en el extremo proporcional a $u' u''$ . Esto se debe al hecho de que la tensión es tangente y, por lo tanto, la fuerza de fricción es (pendiente) * (fuerza axial). La fuerza axial para una cuerda es $T = A mi \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}}$ $T=A E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ dónde $A$ es el área de la sección transversal y $E$ es el módulo de elasticidad. Entonces una fuerza de fricción correspondiente es $F = A mi \frac{\partial^{2} tu}{\partial X^{2}} \frac{\partial tu}{\partial X}$ $F = A E \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial x}$
Respuesta muy concisa: me gusta el razonamiento sobre la falta de conservación, por lo tanto, no hay simetría.
@WetSavannaAnimalakaRodVance eh, para hablantes de inglés no nativos, ¿puede explicar qué significa "conciso"? ¿Es bueno o malo?
@ ja72 No habría sabido que no eras nativo si no lo hubieras dicho. Lo siento. Conciso es bueno, especialmente en la escritura. "Médula" es la esencia de algo, la carne de algo, particularmente de una planta, en oposición a "madera muerta". Por lo tanto, un resumen conciso es aquel que contiene toda la información realmente necesaria sin detalles superfluos e innecesarios. Sin conservación, por lo tanto, sin simetría: no necesita nada más: por lo tanto, sabe que no puede hacer exactamente lo que quiere el OP, por lo que puede ver claramente que ahora se trata de qué aproximaciones funcionan mejor.
@Marco usa un dash-pot puro con coeficiente $d=\sqrt{\rho A T}$ dónde $\rho A$ es la masa por longitud de la cuerda y $T$ es la tensión.
@Marco leyó este documento sobre cómo decidir cómo aplicar un amortiguador cerca de los puntos finales para absorber las olas entrantes.
@Marco, el coeficiente de amortiguación en realidad se define mejor como $d=T/c$ dónde $T$ es la tensión y $c$ la velocidad de la onda.
Traté de implementar algunas estrategias de amortiguación "progresivas" y pude absorber la ola de manera eficiente (con una reflexión mínima) con una amortiguación proporcional a $u'$ y para $i^{1.58}$ dónde $i$ es el índice de la masa en la cadena. Tal vez no sea óptimo, pero es un buen comienzo saber que la amortiguación progresiva funciona. ¡Gracias!
@Marco, tu cadena está demasiado sobreamortiguada ahora y no se siente natural. ¿Es esto lo que pretendes?
En realidad, mi cadena está humedecida solo en los segundos dos tercios, la parte relevante es el primer tercio, mientras que se supone que los otros dos tercios están ocultos. Revisa mi enlace ahora, he resaltado las dos partes.

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