Duda conceptual sobre las representaciones

Estaba estudiando teoría de grupos aplicada a la materia condensada, específicamente representaciones.

Por lo que entiendo, podemos representar elementos de simetría (rotaciones, por ejemplo) por matriz, siendo una representación matricial . Si estas matrices son irreducibles, entonces la representación es irreducible.

Ahora, considere un hamiltoniano, H , que es invariante bajo la acción de un elemento de simetría, R , de un grupo. Entonces,

[ PAG ^ R , H ^ ] = 0

y si ϕ norte es un estado propio de H ^ con energia mi norte entonces PAG ^ R ϕ norte es también un estado propio H ^ con la misma energía.

Mi duda

Según estos resultados, ¿qué significa para ϕ norte transformar como una representación irreductible? No puedo entender el significado de 'estados en transformación como una representación irreductible'. A mi (poco) entendimiento, solo elementos de simetría como R debe transformarse de acuerdo con dichas representaciones.

¿Has ilustrado todas estas afirmaciones con el grupo de rotación que dominaste en la universidad?
@CosmasZachos Esto me lo explicaron de una forma bastante abstracta.
Una representación de GRAMO es un mapa D ( gramo ) que por cada gramo ∈ GRAMO asocia un operador lineal en algún espacio vectorial V y que reproduce la ley de composición de grupos D ( gramo h ) = D ( gramo ) D ( h ) . Decir que un objeto se transforma según alguna representación significa que el objeto es un elemento del espacio vectorial sobre el que actúa el grupo según la representación.
Creo que lo tengo, gracias @ usuario1620696!

Respuestas (1)

Cuando decimos que un estado propio ϕ norte se transforma como un irrep ρ de un grupo GRAMO , queremos decir que pertenece a un subespacio del espacio de Hilbert completo que se mapea sobre sí mismo bajo la acción de ρ (en el presente contexto, este subespacio es un espacio propio para un valor propio hamiltoniano particular). Eso es, ϕ norte pertenece a un subespacio V tal que para cualquier ρ ( gramo ) para gramo ∈ GRAMO ,

ρ ( gramo ) ϕ norte ∈ V

Creo que ahora entiendo. ¡Muchas gracias!
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