¿Cómo encontrar el subgrupo restante después de que alguna combinación lineal de campos de Higgs obtenga un VEV?

¡Sigue a los Goldston! Espero que cualquier libro de texto útil sobre ruptura de simetría que cubra el teorema de Goldstone en cualquier profundidad le diga exactamente cómo encontrar los generadores rotos y, por lo tanto, también los sobrevivientes. A veces, sin embargo, los textos se enamoran de la abstracción matemática y su mensaje se oscurece para los estudiantes.

Aquí está el procedimiento del asiento de los pantalones, que, si dominas, puedes abstraer en matemáticas para (principalmente) confundir a tus amigos: la vida es demasiado corta para encontrar una excusa para ello. Lo estoy proporcionando aquí, ya que su extraña metáfora formal anterior puede pasar por alto un punto crucial del álgebra lineal involucrada. Pero romperé todas las simetrías, en este caso SO(3). El potencial es importante. Puede ampliar el grupo a una N más alta para sobrevivir a las simetrías, ¡pero el punto es rastrear adecuadamente las rotas!

Considere un modelo doble SO(3) σ con dos tripletes reales de Higgs, por lo que en el vector irrep,$\Phi_1$y$\Phi_2$. Tome el potencial, con malicia premeditada, para ser

$$V\propto (\vec{\Phi_1} ^2 -a^2)^2 + (\vec{\Phi_2} ^2 -b^2)^2 + \lambda (\vec{\Phi_1}\cdot \vec{\Phi_2} )^2.$$ La función del último término, con λ estrictamente positivo , es desalentar la alineación de las vev de los dos tripletes, de modo que puedan elegirse o rotarse para que sean, wlog, por conveniencia, $$\langle \vec{\Phi_1}\rangle = \left( \begin{array}{c} a \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \qquad \langle \vec{\Phi_2}\rangle= \left( \begin{array}{c} 0 \\ b\\ 0 \end{array} \right)$$ .

Ahora, el punto central de SSB, presumiblemente enfatizado en sus textos, es la desaparición o no de las rotaciones de Higgses evaluadas en el vacío, entonces, entonces, para los ángulos infinitesimales θ etiquetados de acuerdo con los generadores correspondientes$L_x,L_y,L_z$se adhieren a,

$$\langle \delta\vec{\Phi_1}\rangle = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \theta_z a\\ -\theta_y a \end{array} \right) \qquad \langle \delta\vec{\Phi_2}\rangle= \left( \begin{array}{c} -\theta_z b \\ 0\\ \theta_x b \end{array} \right)$$ .

La no desaparición de estas transformadas vevs señala los modos de Goldstone de los generadores rotos correspondientes a los ángulos presentes en el lado derecho. Es decir, el 1er Higgs se rompe.$L_y,L_z$,
y el segundo$L_x,L_z$, pero cual es el goldston φ del roto$L_z$? Tenga en cuenta la combinación (no normalizada)$\langle \delta\varpi\rangle=\langle \delta (b\Phi^y_1 +a\Phi^x_2 )\rangle=0$, por lo que no es el goldston de los rotos$L_z$. En cambio, su combinación ortogonal,$\phi=(a\Phi^y_1 -b\Phi^x_2 )$es, para que$\langle \delta (a\Phi^y_1 -b\Phi^x_2)\rangle = \theta_z (a^2+b^2)$. Nota adicional, por supuesto ,$\langle \phi\rangle=0$. (Naturalmente,$\langle \varpi\rangle=0$, también.)

También es instructivo calcular el valor de vacío de la segunda variación del potencial, la matriz de masa no diagonal de 6x6,$\langle \delta^2 V/\delta \phi_i \delta \phi_j\rangle$, para notar que hay 3 ceros y tres valores propios que no desaparecen: más allá de los dos goldstons evidentes originales mencionados anteriormente, el tercer vector propio nulo es precisamente el nuevo goldston, (0,a,0,-b,0,0) = φ en esta notación. El mensaje para llevar es que es la variación de las combinaciones lineales en el vacío lo que debe analizarse, y no la combinación de adquisición de vev relacionada, directamente.