La banda llena no puede generar corriente

$\mathbf{v}_g(\mathbf{k})$es la velocidad del electrón en el estado$\mathbf{k}$. La corriente total transportada por todos los electrones se obtiene integrando sobre todos los estados llenos de la zona de Brillouin:

$$\mathbf{j}\propto \int_{\text{BZ}}\mathbf{v}_g(\mathbf{k})n(\mathbf{k})d^3\mathbf{k},$$ En muchos cálculos$n(\mathbf{k})$es solo la función de Fermi $$n(\mathbf{k}) =\frac{1}{e^{\beta(E(\mathbf{k})-\mu)}+1},$$ sin embargo, cuando hablamos de una banda completamente llena a temperatura cero, el factor de ocupación es$1$en todas partes en la zona de Brillouin, es decir, nuestra integral se vuelve simplemente $$\mathbf{j}\propto \int_{\text{BZ}}\mathbf{v}_g(\mathbf{k})d^3\mathbf{k} = 0,$$ ya que, si fuera distinto de cero, tendríamos una corriente distinta de cero.

Ejemplo
Consideremos una cadena de unión estrecha unidimensional con la ley de dispersión

$$E(k)=-\Delta\cos(ka),$$ dónde$2\Delta$es el ancho de banda y$a$es el espaciado de la red.
La zona de Brillouin es $$-\frac{\pi}{a}\leq k \leq \frac{\pi}{a},$$ mientras que la velocidad del grupo de electrones es $$v_g=-\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E(k)}{\partial k}= \frac{\Delta a}{\hbar}\sin(k a)$$ la integral $$\int_{BZ} v_g(k)dk=\int_{-\frac{\pi}{a}}^{\frac{\pi}{a}}\frac{\Delta a}{\hbar}\sin(k a) dk$$ es cero, ya que eit es una integral sobre una función impar en límites simétricos.