¿El cambio del nivel de energía de Fermi de un semiconductor intrínseco significa que n≠pn≠pn \neq p?

Se ha subrayado en los libros que he consultado que, para un semiconductor intrínseco, norte = pag .

Sin embargo, con esto en mente, también derivan la siguiente ecuación:

mi F i = mi C + mi v 2 + 3 4 k B T en ⁡ ( metro h ∗ metro mi ∗ ) ( 1 )
Cuál sería el nivel de energía de Fermi de un semiconductor intrínseco, en función de la temperatura. Lo que significa que para un semiconductor intrínseco, mi F estaría un poco desplazado del centro si las masas de los huecos y los electrones son diferentes (en general lo son).

Esto tiene implicaciones si queremos calcular norte y pag , que no sería igual, porque tienen una dependencia de este nivel de energía. Supongo que esto es una contradicción, porque comienzas con la suposición de norte = pag pero si quieres calcularlos usando (1), terminas siendo norte ≠ pag . ¿Porqué es eso? ¿Cuál es el correcto?

Omita la siguiente derivación si ya conoce la dependencia de norte y pag en mi F .

norte = 2 ∫ mi C ∞ gramo C ( mi ) 1 + mi mi − mi F k B T   d mi = 2 ∫ mi C ∞ gramo C ( mi ) 1 + mi mi − mi C + mi C − mi F k B T   d mi
Cambio de variables: X = mi − mi C k B T y ξ norte = mi C − mi F k B T ; y suponiendo que para un semiconductor 2D gramo 2 D es independiente de E:
norte = 2 gramo 2 D k B T ∫ 0 ∞ 1 1 + mi X mi ξ norte   d X
Lo mismo ocurre con p, usando los mismos argumentos, y con ξ pag = mi F − mi v k B T :
pag = 2 ∫ − ∞ mi v gramo C ( mi ) 1 + mi mi F − mi k B T   d mi = 2 gramo 2 D k B T ∫ 0 ∞ 1 1 + mi X mi ξ pag   d X
Así que al final tenemos
norte = F 0 ( ξ norte ) a norte d pag = F 0 ( ξ pag ) , ξ norte ≠ ξ pag
dónde F j ( − ξ ) es la integral completa de Fermi-Dirac

Si las masas efectivas no son las mismas (normalmente cierto), entonces la energía de Fermi se mueve con la temperatura.
@JonCuster Ya lo dije en la publicación, mi pregunta es si eso implica p≠n.

Respuestas (1)

Su ecuación 1 se derivó con una aproximación para la integral de Fermi-Dirac y se derivó para 3D. Es decir, utilizaron F 1 2 ( η C ) ≈ π 2 mi η C , que es apropiado para muchas situaciones de interés. No está obteniendo la respuesta que espera porque está trabajando en 2D (y no está haciendo la misma aproximación). Como referencia, consulte las secciones 2.5.1 y 2.5.6 de Fundamentos de dispositivos semiconductores de Robert Pierret .

FWIW, en 2D, puede hacer exactamente la integral de Fermi-Dirac relevante , por lo que no creo que haya necesidad de aproximación. Dicho esto, no sé el equivalente 2D de tu primera ecuación. Sin embargo, debería ser sencillo de derivar siguiendo los pasos de Pierret. Supongo que está en algún lugar de The Physics of Low-dimensional Semiconductors de John Davies , pero no tengo una copia a mano.

He estado hojeando algunas páginas del libro de John Davies y creo que sin duda me ayudaría mucho ya que el problema que tenía era en 2D, gracias. La cosa es que incluso para un semiconductor intrínseco 3D, todavía tienes que dar F 1 / 2 un argumento que es diferente para p y n, resultando en n≠p, y eso todavía me molesta.
La razón por la que el argumento es diferente para los electrones y los huecos es que un hueco es la ausencia de un electrón. Entonces, si los electrones tienen alguna distribución F ( mi ) , entonces los huecos tienen una distribución 1 − F ( mi ) . Dado que la distribución es una distribución de Fermi-Dirac, puede demostrar que 1 − F ( mi ) = F ( − mi ) . En otras palabras, los agujeros tienen un signo invertido en el argumento. Ese signo invertido se traslada a las integrales de Fermi-Dirac, y esa es básicamente la diferencia en el argumento. Para obtener una referencia sobre el cambio de signo, consulte la sección 4.6 de Principios de la teoría de los sólidos de JM Ziman.
Agregaré que esa sección en Ziman es una buena referencia para muchas de las cosas discutidas aquí. Cubre básicamente lo mismo que Pierret pero de manera más rigurosa y compacta. (No es sorprendente ya que el libro de Ziman está dirigido a estudiantes graduados, básicamente del mismo nivel que Ashcroft y Mermin, y Pierret está dirigido a estudiantes universitarios).
lo he considerado 1 − F ( mi ) = F ( − mi ) en la derivación, observe que dentro de la exponencial de norte hay mi − mi F y pag tiene mi F − mi .
Bien, he superado mi problema. estaba suponiendo que gramo 2 D fue el mismo en ambos casos, pero si tienes metro mi ≠ metro h tan diferentes que tienen una contribución lo suficientemente grande en el logaritmo (la expresión para mi F i es de hecho diferente en 2D) entonces la diferencia gramo norte ≠ gramo pag también sería lo suficientemente grande como para cambiar n y p. De hecho ξ norte ≠ ξ pag y gramo norte ≠ gramo pag pero mezclándolo todo se obtiene norte = pag , que es una hermosa respuesta.
¿El cambio del nivel de energía de Fermi de un semiconductor intrínseco significa que n≠pn≠pn \neq p?
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