Significado físico de la fuerza de Coriolis

1) Encuentra uno de estos en tu parque infantil local

2) Ignore el letrero que dice "Solo niños" y súbase a él, cerca del borde

3) Pide a algunos amigos que lo pongan en marcha lo más rápido que puedan.

4) Balancee su brazo de un lado a otro en dirección radial, hacia/alejándose del poste rojo

5) La fuerza que siente tu brazo, empujándolo hacia un lado mientras tratas de balancearte radialmente, es la fuerza de Coriolis.

Open Courseware del MIT proporciona un gran recurso para esta pregunta . La notación que se usa a continuación se obtiene combinando las buenas maneras unidas de los libros de Zipfel y Etkin .

El teorema de Coriolis relaciona las derivadas temporales de un vector$\vec{s}$que varía con el tiempo calculado usando dos marcos de referencia distintos,$R$y$M$, como$\frac{d \vec{s}}{dt} \big|_R = \frac{d \vec{s}}{dt} \big|_M + \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}$. El primer término en esta ecuación es la derivada del tiempo o la tasa de cambio del vector medida usando el marco de referencia$R$, mientras que el segundo es la tasa de cambio de tiempo del vector medida usando el marco de referencia$M$y$\vec{\omega}^{MR}$es la velocidad angular del marco de referencia$M$con respecto al marco de referencia$R$.

Considere un caso específico de cinemática al que aplicamos esta fórmula. Si$\vec{s}$es el desplazamiento de una partícula,$R$es el marco inercial y$M$es un marco que gira (pero no se traslada) a una velocidad angular uniforme con respecto a él, entonces hemos obtenido una relación entre las velocidades de la partícula medidas usando los dos marcos de referencia.

Ahora, si diferenciamos la mano izquierda una vez más con respecto al tiempo, usando el marco de referencia$R$y aplicar la segunda ley de movimiento de Newton a la partícula material de masa$m$, obtenemos$\vec{F} = m \frac{d^2 \vec{s}}{dt^2} \big|_R$donde el lado izquierdo es la fuerza externa total que actúa sobre la partícula. Del mismo modo, derivando el lado derecho y multiplicando por la masa, después de algunos cálculos obtenemos (recordando que la velocidad angular se supone constante) los términos$m \frac{d^2 \vec{s}}{dt^2} \big|_M + 2 m \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s} + m \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s})$. Por lo tanto,

$$\begin{equation} \vec{F} = m \frac{d^2 \vec{s}}{dt^2} \big|_R = m \frac{d^2 \vec{s}}{dt^2} \big|_M + 2 m \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s} + m \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}). \tag{1} \label{eqn} \end{equation}$$ Mientras que el primer término en el lado derecho es la aceleración de la partícula medida usando el marco de referencia$M$, los dos últimos términos se denominan términos de Coriolis y centrífugos respectivamente, por convención. El término nombrado después de Coriolis tiene una forma idéntica al término correspondiente en el teorema de Coriolis.

Tenga en cuenta que hemos derivado los dos últimos términos como consecuencia de la cinemática (mantenimiento de libros para contabilizar las mediciones utilizando diferentes marcos de referencia) y son fuerzas ficticias , denominadas fuerzas pseudo , no newtonianas o de inercia en la literatura. Estos últimos nombres se utilizan para indicar que hemos utilizado el marco de referencia no inercial o no newtoniano.$M$para medir la aceleración y, en consecuencia, aplicar la segunda ley de Newton va a ser más complicado, e implicará restar las fuerzas pseudo centrífugas y de Coriolis de las fuerzas reales (estas se distinguen de las no inerciales ya que surgen de la interacción de la partícula de masa con otros objetos en el espacio).

En otras palabras, las fuerzas no newtonianas o de inercia (como Coriolis) no son efectos físicos causados ​​en la dinámica de la partícula material debido a su interacción con otras partículas materiales. Estos se consideran artificialmente fuerzas, para poder escribir la segunda ley de Newton para la partícula,

$$\begin{equation} \vec{F} - m \left( 2 \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s} + \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}) \right) = m \frac{d^2 \vec{s}}{dt^2} \big|_M, \tag{2} \end{equation}$$ a pesar de usar un marco de referencia no newtoniano.

Considere, por ejemplo, el caso cuando el lado izquierdo en la ecuación$\eqref{eqn}$desaparece, lo cual es razonable cuando colocamos la masa puntual en un lugar aislado lejos de cualquier otra partícula material. Incluso en este caso, las fuerzas de Coriolis y centrífugas no son, en general, despreciables.

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Presentamos una aplicación de ejemplo para explicar el resultado. Tratemos el cálculo de la aceleración de una partícula$P$utilizando el marco de referencia$R$en términos de derivadas temporales calculadas usando el marco de referencia$M$que se mueve con respecto al marco de referencia$R$. Dejar$M$tiene una velocidad angular de$\omega^{MR}$con respecto a$R$y deja$\vec{s}_{MR}$denotan el desplazamiento de un punto de referencia en$M$(típicamente el origen del sistema de coordenadas asociado) con respecto al de$R$. Cambiemos nuestra notación$\frac{d^R}{dt} := \frac{d}{dt}|_R$por conveniencia y denota el desplazamiento de un punto$P$desde cualquier punto en un marco de referencia$R$por$\vec{s}_{PR}$y para que la velocidad de la partícula$P$calculado utilizando un marco de referencia$R$se denota$\vec{v}_P^R := \frac{d^R}{dt}\vec{s}_{PR}$(la regla general para la notación es denotar puntos en subíndices y cuerpos rígidos y marcos de referencia en superíndices).

Entonces, al aplicar el teorema de Coriolis obtenemos

$$\vec{v}_P^R = \frac{d^R}{dt}\vec{s}_{PR} = \frac{d^R}{dt} (\vec{s}_{MR} + \vec{s}_{PM}) \\ = \vec{v}_M^R + \frac{d^M}{dt} \vec{s}_{PM} + \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM} \\ = \vec{v}_M^R + \vec{v}_P^M + \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM}.$$ Para obtener la aceleración aplicamos nuevamente el teorema de Coriolis para obtener $$\vec{a}_P^R := \frac{d^R}{dt} \vec{v}_P^R = \frac{d^R}{dt} (\frac{d^R}{dt} \vec{s}_{PR}) \\ = \frac{d^R}{dt} (\vec{v}_M^R + \frac{d^M}{dt} \vec{s}_{PM} + \vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM}) \\ = \vec{a}_M^R + \vec{a}_P^M + \frac{d^R}{dt}\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM} + 2 \vec{\omega}^{MR} \times \vec{v}_P^M + \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM})$$ donde denotamos$\vec{a}_M^R := \frac{d^R}{dt}\vec{v}_M^R$y$\vec{a}_P^M := \frac{d^M}{dt}\vec{v}_P^M$. Denotando la aceleración angular del marco de referencia.$M$con respecto al marco de referencia$R$por$\vec{\alpha}^{MR} := \frac{d^R}{dt}\vec{\omega}^{MR}$, entonces tenemos el resultado directamente aplicable $$\vec{a}_P^R = \vec{a}_M^R + \vec{a}_P^M + \vec{\alpha}^{MR} \times \vec{s}_{PM} + 2 \vec{\omega}^{MR} \times \vec{v}_P^M + \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM}).$$ Los términos de aceleración centrípeta y de Coriolis en el signo de la derecha se identifican fácilmente.

Además, suponiendo que$R$es un marco de referencia inercial, las ecuaciones dinámicas de movimiento de traslación para la partícula material$P$se obtienen como

$$\vec{F} = m (\vec{a}_M^R + \vec{a}_P^M + \vec{\alpha}^{MR} \times \vec{s}_{PM} + 2 \vec{\omega}^{MR} \times \vec{v}_P^M + \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM})),$$ dónde$\vec{F}$denota la fuerza externa neta que actúa sobre la masa puntual que tiene masa$m$. Los términos de Coriolis y aceleración centrípeta (multiplicados por$m$) al ser movido hacia el lado izquierdo junto con todos los demás excepto$m \vec{a}_M^R$(que es la cantidad que tenemos la tarea de calcular), con los cambios de signo apropiados ($-2 m \vec{\omega}^{MR} \times \vec{v}_P^M$y$- m \vec{\omega}^{MR} \times (\vec{\omega}^{MR} \times \vec{s}_{PM})$) se denominan fuerza de Coriolis y fuerza centrífuga , que son (dos de las cuatro) fuerzas no newtonianas , pseudo o inerciales que actúan sobre la partícula.

Imagina que estás parado en una plataforma giratoria cerca del borde y lanzas una pelota dirigida hacia el centro de la plataforma. Lanzar la pelota lo desacopla de un marco de referencia giratorio y, por lo tanto, verá que no se mueve en línea recta hacia el centro sino en una línea curva. Esquemas:

La fuerza de Coriolis se define como:

$$\boldsymbol{F} = -2m\,{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {v'}}$$

Aquí$v'$es la velocidad tangencial de la bola medida desde la perspectiva humana en un marco de referencia giratorio. Y$\Omega$es un vector de rotación, en este caso está dirigido hacia arriba. Debido a que la fuerza de Coriolis es un producto cruzado del vector de rotación y la velocidad tangencial, es una especie de fuerza centrípeta, dirigida perpendicularmente al vector de velocidad tangencial de la bola. Por cierto, tenga en cuenta que este eje de rotación de la fuerza centrípeta no será el mismo que el eje de rotación de la plataforma, son diferentes. Menos en la fórmula se debe a que la fuerza de Coriolis contrarresta la fuerza humana que empuja la bola en el marco de referencia giratorio. Entonces, para que la segunda ley de Newton sea válida en un marco de referencia rotacional, debe incluir esta fuerza ficticia de Coriolis en los cálculos de una fuerza neta.

En primer lugar, debe tenerse en cuenta que la fuerza de Coriolis es una fuerza de inercia (también conocida como pseudo fuerza o fuerza ficticia) y se usa solo en un marco que gira con respecto a un marco de referencia inercial. Estamos tan acostumbrados a las leyes de movimiento de Newton que solo se aplican a marcos inerciales. Para adaptar las leyes de movimiento de Newton a marcos no inerciales, usamos fuerzas de inercia como la fuerza centrífuga, la fuerza de Coriolis, etc. Entonces, cuando está conectado a un marco de referencia inercial, no necesita preocuparse por las fuerzas de inercia.

Consideremos una bola que rueda sobre un disco circular sin fricción como se muestra en la siguiente animación:

^{Fuente: fuerza de Coriolis - Wikipedia}

Inicialmente, a la pelota se le da cierta velocidad en una dirección radial hacia afuera. La parte superior de la animación analiza el movimiento desde un marco de referencia inercial, mientras que la parte inferior analiza el movimiento desde un marco de referencia giratorio (como si estuviera sentado en el disco y observando rodar la bola).

En un disco que gira, los puntos cercanos a la periferia se mueven con velocidades mayores en comparación con el punto más cercano al centro de acuerdo con una de las fórmulas más familiares:

$$v=r\omega$$

dónde$v$es la velocidad,$r$es la distancia del punto al centro y$\omega$es la velocidad angular. A medida que la pelota en la primera animación se mueve hacia abajo, la velocidad con la que se mueve el piso aumenta progresivamente. Dado que el piso del disco no tiene fricción, esto no afectará el movimiento de las bolas. Sin embargo, esto tiene un gran efecto en lo que observa el punto rojo (suponiendo que seas tú).

Inicialmente, la pelota se proyecta hacia ti. Pero, como estás cerca de la periferia, te mueves mucho más rápido que la pelota a lo largo del eje. Entonces la pelota te falla. El movimiento de la pelota observado por un observador en un marco no giratorio es una simple línea recta, pero es una curva analizada por el observador en el marco giratorio. Esta curva se debe al resultado tanto de la fuerza centrífuga como de la fuerza de Coriolis.

También puede verificar esto como lo sugiere RogerJBarlow , pero de una manera ligeramente diferente. Supongamos que estás en medio de este dispositivo:

Y supongamos que tus amigos te rotan junto con el dispositivo anterior en el sentido contrario a las agujas del reloj (igual que en la animación anterior). A medida que comience a moverse hacia la periferia, sentirá una fuerza de empuje hacia su lado derecho (suponiendo que mire hacia afuera) y esta es la fuerza de Coriolis. Sin embargo, a tus amigos les parecerá que tu cabeza está tratando de moverse en línea recta, pero no puede, ya que está unida a tus piernas que están (fijas debido a la fricción) en contacto con el piso del dispositivo.

Hice esta animación hace un tiempo para mostrar la intuición física detrás de la fuerza de Coriolis.

Cuando viajas en un planeta y miramos hacia afuera desde el espacio (a la izquierda de la imagen, ruta roja), el punto rojo simplemente se desliza sobre el planeta.

Sin embargo, si mide la ruta en el marco de referencia del planeta giratorio (a la derecha de la imagen, ruta verde), parece que alguna fuerza falsa está empujando el punto rojo. Pero es solo porque el planeta está girando.

Otro ejemplo

Este satélite está orbitando alrededor de la tierra mientras la tierra gira alrededor de otro eje de forma independiente.

Si mapeamos la posición del satélite en la tierra, ¡parece una locura compleja! Pero la realidad es muy simple.

La fuerza de Coriolis ocurrirá en cualquier objeto giratorio, no solo en las esferas. La respuesta de Guru Vishnu cubre brillantemente un disco giratorio.

Una forma de comprender las fuerzas ficticias que puede ayudar es imaginar que ejerces las fuerzas reales necesarias para equilibrar la fuerza ficticia. Por ejemplo, si haces girar en círculo una piedra al final de una cuerda a una velocidad angular constante, la tensión que ejerces sobre la cuerda para que la piedra de hecho describa un círculo (es decir, permanece estática en un marco de referencia centrado en el círculo que gira a velocidad angular constante relativa a un marco de referencia inercial) debe compensar exactamente la fuerza centrífuga. Si la cuerda no está presente, la roca parece alejarse de un observador estático en el marco de referencia giratorio con una aceleración dada por el término centrífugo. Esta forma de entender las fuerzas centrífugas/aceleración se usa a menudo.

Podemos entender la fuerza de Coriolis de manera similar. Podemos preguntar: ¿cuál es la fuerza que debe ejercerse sobre una partícula que se mueve puramente radialmente en un marco de referencia giratorio para que un observador estático en el marco de referencia giratorio vea que la partícula se mueve a una velocidad constante a lo largo de un radio de la marco de referencia giratorio? Piense en una cuenta que se mueve a una velocidad constante a lo largo del segundero de un reloj analógico, o un anillo que se mueve a lo largo de los pasamanos radiales en el equipo de juegos que se muestra en dos de las otras respuestas.

Tenga en cuenta que aquí no nos importan las fuerzas radiales. Ejercemos suficientes fuerzas radialmente para asegurarnos de que la velocidad sea constante en esta dirección. Lo que preguntamos es ¿cuál es la fuerza tangencial, en la dirección circunferencial? Esta fuerza es necesaria para equilibrar la aceleración de Coriolis que observaríamos si no se ejerciera.

Podemos calcular la fuerza de Coriolis en este caso 2D observando que cuando la partícula avanza radialmente en el marco de referencia giratorio, debemos hacer dos cosas (cuando se ve desde un marco de referencia inercial):

1 - necesitamos desviar la dirección de la velocidad de la partícula, ya que el radio en el que se mueve la partícula se desvía.

2 - necesitamos cambiar la velocidad de la partícula en la dirección circunferencial ya que moverse a lo largo de un radio cambiará la distancia desde el centro de rotación. Si la posición angular en el marco de referencia giratorio debe permanecer constante, la velocidad angular en el marco de referencia inercial cambiará.

El primer término está convenientemente dado por lo que sabemos sobre la aceleración centrífuga. De hecho, sabemos que para desviar la dirección del movimiento de una partícula que se mueve a una velocidad constante v en un marco de referencia giratorio que gira con una velocidad angular de$\omega$, debemos acelerar la partícula con una aceleración$a_1 = \omega v$. De hecho, la tasa de cambio de dirección del vector velocidad en el caso de la aceleración centrífuga es la misma que en nuestro caso. Los vectores son perpendiculares entre sí cuando se comparan los dos casos.

Para el segundo término, cuando la partícula está a una distancia$r$desde el centro del marco de referencia giratorio, su velocidad circunferencial (visto desde el marco de referencia inercial)$v_c$es$\omega r$. Si$r$se incrementa por$dr$, El aumento en$v_c$es$dv_c = \omega dr$, de modo que la aceleración$a_2$debido al segundo efecto en un tiempo$dt$es$a_2 = dv_c/dt = \omega dr/dt = \omega v$.

Ahora, para obtener la aceleración total, sumamos$a_1$y$a_2$, que podemos hacer con una simple suma escalar ya que las dos aceleraciones están en la misma orientación (circunferencial), y obtenemos el término de Coriolis$2 \omega v$.

De todo esto, podemos ver que la aceleración de Coriolis es la aceleración aparente de una partícula que se mueve a velocidad constante en un marco de referencia inercial cuando es observada por un observador ubicado en un marco de referencia giratorio que gira a una velocidad$\omega$. La aceleración de Coriolis tiene dos componentes. El primero se debe al cambio aparente en la dirección del movimiento de la partícula, y el segundo se debe al alejamiento del centro de rotación, lo que aumenta la velocidad tangencial de la partícula en relación con el marco de referencia giratorio.