¿Qué cuentan los índices que no son de Lorentz λλ\lambda del vector de polarización ϵλϵλ\boldsymbol{\epsilon}_\lambda?

$\lambda$cuenta el número de polarizaciones independientes de un fotón. Tenga en cuenta que el tensor de polarización es un vector de 4$\epsilon^\mu$. En calibre culombio,$A^0 = 0$de modo que$\epsilon^0 = 0$. Por lo tanto, un tensor de polarización genérico en calibre de Coulomb toma la forma$\epsilon^\mu = (0,\epsilon^i)$y por lo tanto viene dada por 3 variables. Además, estas tres variables no son todas independientes sino que están restringidas por la condición

$$\epsilon^i p_i = 0 \, .$$ Esta es 1 ecuación para 3 variables. Por lo tanto, podemos resolver una de las variables en términos de las otras 2. Por lo tanto, en total, hay 2 soluciones independientes para la ecuación anterior que etiquetamos como $\epsilon_\lambda^i$con $\lambda = 1 ,2$.

Por ejemplo, si lo desea, puede resolver para$\epsilon^3$en términos de$\epsilon^1$y$\epsilon^2$y una solución genérica a la restricción toma la forma

$$\epsilon^\mu = (0,\epsilon^1,\epsilon^2, - \frac{p^1 \epsilon^1 + p^2 \epsilon^2 }{ p^3 } )$$ Entonces, las dos polarizaciones independientes se pueden encontrar eligiendo $(\epsilon^1,\epsilon^2)=(1,0)$y $(0,1)$. Por ejemplo $$\epsilon^\mu_{\lambda=1} = (0, 1 , 0 , - \frac{p^1 }{ p^3 } ) \, , \qquad \epsilon^\mu_{\lambda=2} = (0, 0 , 1 , - \frac{p^2 }{ p^3 } )$$ La elección anterior de polarizaciones independientes son las polarizaciones lineales.

Se puede encontrar otro conjunto de dos polarizaciones independientes eligiendo$(\epsilon^1,\epsilon^2)=(1,i)$y$(1,-i)$. Estas se llaman polarizaciones circulares.

Eso$\lambda$cuenta el número de estados de polarización independientes disponibles para el fotón. Los fotones reales existen solo en la parte solenoidal del vector potencial,$\mathbf{A}$. Dado que hay dos grados de libertad independientes en cualquier punto de un campo solenoidal, obtienes dos valores posibles para$\lambda$. Podría obtener tres valores posibles para$\lambda$si el fotón tuviera masa, haciendo que la parte longitudinal (irrotacional) de$\mathbf{A}$físico, pero eso no sería calibre invariante.

Es más fácil ver lo que está pasando en modo espacio ($\mathbf{k}$-espacio), donde la integral y la suma en la pregunta ya están. Allá,$\lambda$simplemente etiqueta dos vectores ortogonales al vector unitario radial. Una opción para ellos sería$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \hat{\theta}$y$\boldsymbol{\epsilon}_1 = \hat{\phi}$, los vectores unitarios elegidos tradicionalmente para ser ortogonales a un vector unitario radial en un sistema de coordenadas esféricas. En el espacio físico esto solo tiene sentido cuando trabajas con dos puntos físicos, una fuente y un observador, en lugar de uno. Cuando haces eso, esto implica que el vector potencial será perpendicular a la línea de visión que conecta los dos puntos.

Qué pasa$\phi=A^0$¿usted pregunta? Bueno, ese campo no es en realidad un campo dinámico porque su derivada temporal no aparece en el Lagrangiano. Por lo tanto, juega un papel más como un campo de restricción multiplicador de Lagrange que cualquier otra cosa. Entonces,$A^\mu$tiene solo 2 grados de libertad que se comportan como partículas, uno que actúa como un multiplicador de Lagrange ($\phi$), y otra que no puede tomar ningún valor particular debido a la invariancia de calibre (hasta una integral lineal,$\nabla \cdot \mathbf{A}$).

Para obtener detalles sobre cómo cuantificar el campo electromagnético correctamente (manejando las restricciones de fijación de calibre y la ecuación de restricción que se obtiene al variar el Lagrangiano con respecto a$\phi$), recomiendo la "Teoría cuántica de los campos" de Weinberg, vol. 1 y 2 ya que repasa a fondo los formalismos canónico y lagrangiano (incluso si la notación es un poco engorrosa).