Si la energía cinética es una función del cuadrado de la velocidad, ¿cómo puede ser constante la aceleración gravitatoria?

Suponiendo una aceleración gravitatoria constante g , la energía potencial de una masa m a una altura h es:

$U = mgh$

Ahora, si se permite que la masa caiga libremente desde esta altura, la velocidad hacia abajo$v$aumenta linealmente con el tiempo bajo la constante aceleración de la gravedad:

$v = gt$

y así, la altura de la masa decrece con el cuadrado del tiempo:

$\Delta h = -\dfrac{gt^2}{2}$

Esta es la clave. La fuerza sobre la masa es constante, pero la distancia a través de la cual actúa la fuerza, por unidad de tiempo, es mayor en un momento posterior que en un momento anterior.

De lo anterior, obtenemos que el cambio en la energía potencial con el tiempo es:

$\Delta U =mg\Delta h =-\dfrac{m(gt)^2}{2} = -\dfrac{mv^2}{2}$

La energía potencial perdida debe (ignorando las pérdidas) ser igual a la energía cinética ganada:

$\Delta KE = -\Delta U = \dfrac{mv^2}{2}$

Su punto de partida "los métodos normales de aceleración [..] agregan [..] energía constante a lo largo del tiempo a un objeto" no es correcto.

Una fuerza constante que clasificaría como "un método normal de aceleración". Tal fuerza constante agrega energía constante no cuando se aplica durante una duración fija, sino cuando se aplica sobre una distancia fija.

Uno no necesariamente necesita tirar más fuerte de algún objeto para proporcionarle mayor energía. La cantidad de energía que gana un objeto o el trabajo realizado sobre ese objeto por la fuerza aplicada está dada por

$$W=\vec F\cdot\vec s$$

dónde$\vec F$es el vector fuerza y$\vec s$es el vector de desplazamiento. Entonces ves que uno puede hacer más trabajo en un objeto simplemente aumentando cualquiera de las dos cantidades.

En caso de gravedad, la cantidad$\vec s$aumenta cuando un objeto se mueve con mayor velocidad. Esto se puede decir usando esta ecuación:

$$s =ut+\frac 12at^2$$ dónde $u$es la velocidad inicial y $a$es la aceleración. Así que está claro que un objeto con mayor $u$recorrerá una mayor distancia $s$en un tiempo dado $t$(Porque $a$es constante para cualquier objeto que tomes).

Así el trabajo realizado sobre él será mayor y ganará más energía cinética.

Nota: Esto supone que estás en un campo gravitatorio constante, es decir, estás cerca de la superficie de la tierra. Entonces hay una aceleración gravitatoria constante.$g$hacia abajo. En otros casos la fuerza$F$aumenta también cuando te acercas a la tierra.