Si el temperamento igual divide una octava en 12 partes iguales, ¿por qué las diferencias de hercios no son las mismas sino doceavas partes de dos?

Los intervalos entre notas son "iguales" no en el sentido de que la diferencia en Hz entre ellas sea la misma, sino que la relación a entre ellas es la misma. Digamos que ges un semitono más alto que f, entonces g = a f.

Note  Hz      Ratio a to previous note, rounded to 3 decimal places
A4    440.00
A#4   466.16  1.059 (466.16 / 440.0 = 1.059, and so on down the column)
B4    493.88  1.059
C5    523.25  1.059
C#5   554.37  1.059
D5    587.33  1.059
D#5   622.25  1.059
E5    659.25  1.059
F5    698.46  1.059
F#5   739.99  1.059
G5    783.99  1.059
G#5   830.61  1.059
A5    880.00  1.059

Puede ser más fácil de entender cuando piensas en la frecuencia de las octavas. El número de Hz entre octavas es diferente (220, 440, 880, 1760, etc.), pero la relación de 2:1 es siempre la misma. El mismo concepto se aplica a las notas de la escala.

Matemáticamente, lo que estamos haciendo es dividir una octava (proporción 2:1) en 12 pasos iguales (igual en proporción, es decir a^12=2). Usando una calculadora científica, podemos resolver para a=2^(1/12) = 1.0594630943592952645618252949463, que es (casi) la proporción exacta entre dos medios pasos.

La división de notas tiene que ver con la percepción humana y la psicoacústica. Una descripción de la percepción humana es la ley de Weber-Fechner, donde un ser humano percibirá cambios iguales en alguna entrada sensorial, como el nivel de sonido o el tono de sonido, no por el nivel absoluto o la diferencia de valor, sino por la proporción del cambio. por ejemplo, los valores más grandes necesitan un cambio proporcionalmente mayor para que el cambio se perciba (si es pequeño) o se perciba como aproximadamente igual, dentro de un rango razonable (por ejemplo, audible, pero que no cause daño al oído, etc.)

Así, para que un intervalo de semitono (cuarta, quinta, etc.) suene igual, sin importar de qué nota base se parte, en la escala de temperamento igual, las notas tienen que diferir no por diferencias de frecuencia absolutas iguales (como se crearía por deltas de Hz iguales entre notas), sino por diferencias de proporciones iguales (la raíz 12 de 2, de modo que doce multiplicaciones iguales equivaldrán a una octava).

por ejemplo, la "igualdad" en una división igual tiene que estar en proporción igual, no en valor absoluto aditivo.

Qué pasa si bajas por los mismos escalones:

• 440Hz
• 1 paso hacia abajo: 403,33 Hz
• 2 pasos hacia abajo: 366,67 Hz
• 3 pasos hacia abajo: 330.Hz
• ...
• 11 pasos hacia abajo: 36,67 Hz
• 12 pasos hacia abajo: 0Hz
• 13 pasos hacia abajo: -36.67Hz

Entonces, usando su lógica "dividida equitativamente", estamos en cero Hz después de 12 pasos, ¡y el siguiente paso más allá es menos 37 Hz! ¿Y eso que significa? Pero bueno, sigamos un poco tu lógica... cuál es la frecuencia exactamente en el medio de la octava 440 - 880 Hz, eso sería 660 Hz. ¿Qué es una octava por encima de eso? Eso sería 2 * 660 Hz = 1320 Hz. ¿Cuáles serían los pasos en esa octava - 660 Hz / 12 = 55 Hz? Bien, entonces demos un paso más allá de 660 Hz, eso es 660 Hz + 55 Hz = 715 Hz. Pero espera... se suponía que el paso era de 37 Hz, no de 55 Hz??? ¿Tu tamaño de paso depende de los puntos de inicio y final de la octava? ¿O se necesita un salto repentino a 880 Hz: los pasos por debajo de 880 serían 440/12, pero por encima de 880 serían 880/12? ¿De dónde viene tal divisor, ¿Está incrustado en la naturaleza? Pensé que A = 440 Hz era solo una convención acordada, no una ley de la naturaleza.

¿Dónde conseguiste el 880Hz? Multiplicando por 2, es decir, una octava más alta. Supongo que lo mismo se aplica a cualquier frecuencia, no solo a 440 Hz. Por ejemplo, una octava más alta de 880 Hz tiene que ser 880 Hz * 2? Y cualquier otra frecuencia como 1000Hz... una octava por encima debe ser 2000Hz. Si el intervalo de una octava se calcula con la multiplicación, ¿cómo podrían calcularse otros intervalos con la suma?

Entonces, pregúntate: si F1 y F2 son las frecuencias de dos semitonos consecutivos, ¿cuál es la relación entre F1 y F2, si (F1 * 2) y (F2 * 2) tienen que tener la misma relación?

Estás buscando una función f(F) tal que f aplicada 12 veces da 2*F.

    f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(F))))))))))))) = 2 * F

Si sube un semitono desde F, obtiene una frecuencia f(F). La frecuencia una octava más alta es 2 * f(F).

Si primero sube una octava, obtiene F*2. Y si subes un semitono a partir de eso, obtienes f(F*2), que debería ser la misma frecuencia, entonces:

    2 * f(F) = f(2 * F)

¿ Cómo podría ser la función f ?

De la línea de asunto "¿por qué las diferencias de hercios no son las mismas sino el elemento 12 de dos?" Supongo que ya sabes que los semitonos consecutivos tienen una proporción de 2^(1/12).

Una forma simple es mirar las proporciones como se sugirió anteriormente. Uno puede dividir un intervalo igualmente aritméticamente de modo que la longitud (tamaño, o más técnicamente "medida") de cada subintervalo sea idéntica. Dividir un intervalo aritméticamente en 12 partes (puedo explicar el 12 pero requiere más matemáticas) produce, 1 = 12/12, 13/12, 14/12, 15/12, 16/12, 17/12, 18/ 12, 19/12, 20/12, 21/12, 22/12, 22/12, 24/12=2. Sin embargo, la audición de las personas parece (experimentalmente) distinguir proporciones de frecuencias en lugar de diferencias como más idénticas. Por ejemplo (Tomando A=440cps), el quinto arriba de A es E a 660cps no 19/12*440=696.666....

Si queremos proporciones iguales para cada medio paso, en lugar de (2-1)/12, tenemos 2^(1/12). El punto es que la proporción de G a C es constante para todos los quintos (AD, CF, etc.). Desde la antigüedad, la proporción de una quinta es 3:2 (o 3/2 veces la frecuencia de la nota más baja). Esto se corresponde con dividir una cuerda en intervalos y escuchar la frecuencia de las dos piezas más cortas. (Aparte: Vincenzo Galilei sugirió usar 18/17 como una aproximación a la raíz doceava de dos; es muy bueno).

Sin embargo: para el trabajo computacional, podemos usar logaritmos; el logaritmo de una razón es la diferencia en los logaritmos de los constituyentes de esa razón. Uno divide la octava en 1200 centésimas (la raíz 1200 de 2) y asigna 100 centésimas al semitono de temperamento igual. Esto permite calcular fácilmente (al menos cuando se usa lápiz y papel en lugar de una calculadora) el tamaño del intervalo para diferentes afinaciones.

Entonces, aunque nuestros oídos escuchen por razón (experimentalmente), podemos calcular por razón o suma. Wiki tiene un montón de artículos qG (quod Google en analogía con qv) que dan una explicación más completa.

Comience considerando la división igual de octavas en una parte. Es decir, piense en cambiar el tono solo por octavas.

Si comenzamos con A1=55 Hz, tenemos los siguientes tonos:

    Frecuencia de tono
    ----------------
    A1 55Hz
    A2 110 Hz
    A3 220 Hz
    A4 440 Hz
    A5 880 Hz
    ...

Puede ver que cuando aumenta el tono en una cantidad aditiva igual , aumenta la frecuencia en un factor multiplicativo igual. Es decir, cada vez que aumentas el tono en una octava, duplicas la frecuencia. Esto significa que la relación entre tono y frecuencia es logarítmica.

A partir de ahí, es bastante fácil llegar a la conclusión de que para dividir la octava en un número de partes iguales, es necesario encontrar el factor que, cuando se multiplica por sí mismo ese número de veces, da 2. En otras palabras, el factor de frecuencia correspondiente a una división de la octava en n partes es la raíz enésima de 2.

Posiblemente, una forma sencilla de verlo es mirar el mástil de una guitarra. Una octava allí se divide en 12 partes, iguales en la medida en que cada traste esté a un semitono de distancia de su vecino. Pero mirando detenidamente, es bastante obvio que cada traste no es del mismo tamaño. De hecho, el undécimo traste es casi la mitad del tamaño del primero, desde la tuerca hasta el traste 1. Vaya más allá, y el 12 (octava) es en realidad la mitad del tamaño del primero.

Su hipótesis es que todos serían del mismo tamaño: ¿una doceava parte de la mitad de la longitud de la cuerda abierta? Si ese fuera el caso, ¿qué pasaría en el traste 13? Y aparte, cada traste producía una nota desafinada. Por lo tanto, debe haber una proporción de cada traste con respecto a su vecino, como se señala en otras buenas respuestas.

Nuestro sistema de notas es una escala logarítmica de frecuencia. Una escala logarítmica convierte fracciones iguales en distancias iguales. Puede definir temperamento igual como un tamaño de paso constante 1/12en la log_2escala de frecuencia.

Volviendo a la escala lineal, esto significa que un semitono se traduce en un factor de 2^(1/12)(la raíz doceava de dos).

La razón de esto es que el sonido de un intervalo depende de cómo coincidan los espectros armónicos de los dos nodos .

La octava tiene la característica única de que todos los armónicos de la nota más alta coinciden con algún armónico de la nota más baja. Asimismo, si tienes una quinta justa (factor 3/2), cada segundo armónico de la nota superior coincide con cada tercer armónico de la nota inferior. Relaciones similares se mantienen para el cuarto perfecto (factor 4/3), el tercero mayor (5/4) y el sexto mayor (5/3). Y así sucesivamente y así sucesivamente. El patrón de cómo coinciden los armónicos define el sonido del intervalo, y los armónicos se definen por factores de frecuencia .

Por lo tanto, solo se puede usar una escala logarítmica para describir bien los intervalos (nuestro sistema de notas). Y en consecuencia, el temperamento igual debe definirse en la escala logarítmica.

Si una octava se define por esto:

• duplicación de frecuencia
• 12 pasos

¿Por qué la forma de pasar de una tecla a la siguiente debe regirse por una regla diferente (es decir, moverse a lo largo de una curva diferente en un diagrama X, Y) que mover unas 12 teclas, que no es otra cosa que aplicar la regla de tecla a tecla? -clave 12 veces? Hay una función que dicta cómo pasar de una tecla a la siguiente, que se define en los términos anteriores. Lo que quiere hacer es moverse linealmente de una tecla a otra, lo que contradice la definición anterior. La curva no es una línea. No se define como una suma de algo, sino como una duplicación (multiplicación) sobre un cierto número de claves (12). Una octava por encima de 110 Hz es 220. Pero una octava por encima de eso es 440, no 330: no agrega un número (que obtendría pasos iguales), multiplica (el tamaño del paso lineal aumenta a medida que avanza).

Por lo tanto, si x es el paso de multiplicación de una tecla a la siguiente, f es la frecuencia de inicio y 2*f es una octava por encima:

f * x * x * ... * x = 2*f  | 12 steps, i.e. 1 (multiplication) step applied 12 times
f * x^12 = 2*f  | divide by f
x^12 = 2  | solve for x
x = 2 ^ (1/12)

es decir, raíz 12 de 2. Vea la imagen a continuación: La curva naranja sigue esa regla de 110 Hz a 880 Hz, con todos los pasos de semitono en el medio. La curva azul es lo que sucedería si intentara satisfacer ambos requisitos: duplicar la frecuencia por octava, pero también avanzar en pasos iguales (es decir, linealmente) de una octava a la siguiente. Ambas curvas se encuentran en cada octava: 110, 220, 440, 880. ¿Ves cómo esa línea azul no sigue una función suave sino que está compuesta de segmentos lineales? No creo que esperes que esto suene natural e incluso, subiendo con la frecuencia de esa manera para los semitonos;) Para subir suavemente y satisfacer la "duplicación de la frecuencia por octava", tus semitonos deben estar encendidos. esa curva naranja (y los subsemitonos como los centavos también, por supuesto, es decir, 100 centavos tampoco están espaciados equidistantemente)

Subir una octava no significa sumar 440 Hz; más bien significa multiplicar por 2. Cada vez que subes medio tono, multiplicas por la misma cantidad; usted no agrega la misma cantidad.

Esta es otra respuesta que intenta ayudar a comprender también la pregunta para las personas que no pueden lidiar con proporciones y otros términos abstractos:

Imagina que tienes un tono de 12 Hz de frecuencia (una cuerda que se mueve 12 veces por segundo). ¿Cómo se deben afinar los 12 semitonos entre la octava (24 Hz), para que las diferencias entre todos los semitonos sean iguales?

La pregunta implica: si el rango entre la octava es de 12 Hz, ¿por qué la diferencia entre los 12 semitonos no siempre es de solo 1 Hz?

raíz=12Hz

segunda menor 13Hz

segunda mayor 14Hz

.

.

.

.

quinta perfecta 18Hz

.

.

.

séptima mayor: 23Hz

octava: 24

Podemos ver que la diferencia entre la primera mitad de 12 Hz y 13 Hz es solo 1/10 de 12 Hz (10% de toda la octava), mientras que la diferencia adicional entre la octava de 24 Hz y el medio tono precedente (23 Hz) habría sido casi solo un 1/20 (=5%) de la diferencia entre el siguiente semitono superior por encima de la octava será 2 Hz más - porque esto debe ser un 1/10 de la siguiente octava de 48 Hz, ya que la diferencia entre de ocatava' (24 Hz ) y octava'' (48Hz) es 24Hz! (48-24=24) y medio paso de 1/12 entre octava' y octava'' será 2?

De aquí podemos deducir que las diferencias entre los semitonos no son adicionales de 1/12 sino proporcionales al multiplicar cada semitono por 1/12.

Espero que esto no sea aburrido y confuso. ¿TLDR?