Si el principio de incertidumbre de Heisenberg involucra la desviación estándar de las cantidades, ¿por qué lo usamos de una manera diferente como aquí?

El principio de incertidumbre de Heisenberg se da matemáticamente como

σ X ⋅ σ pag ≥ ℏ 2

Los dos términos de la izquierda son las desviaciones estándar de posición y momento.

Pero en muchos lugares el HUP es tan

Δ X Δ pag ≥ h 4 π
y se usa como en este ejemplo (como en Beisers Modern Physics):

Si una partícula puede estar en cualquier parte de una esfera de radio Δ R y puede tener impulso en un rango Δ pag entonces tenemos Δ R . Δ pag ≥ ℏ 2

¿Cómo se sigue este ejemplo de la definición dada en la parte superior?

Me alegro de que no hayas cerrado esta pregunta, aunque hay otras similares pero las respuestas allí en mi humilde opinión no responden a la pregunta.
Lamento mucho decir que Beiser está lleno de errores conceptuales y no se debe confiar en él para nada. Dejamos de usarlo hace 10 o 12 años debido a estos múltiples problemas.
Gracias por su consejo, lo reemplazaré pronto con algunos otros textos estándar. Gracias.

Respuestas (3)

La idea es que si una partícula puede estar en cualquier parte de la esfera de radio Δ R , entonces σ X ∼ Δ R (puede intentar calcular la desviación estándar de la posición de una partícula que puede estar en cualquier parte de una esfera de radio Δ R y será proporcional a Δ R ). Es un poco como el Problema de Fermi ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fermi_problem ), en el que solo te interesa estimar el orden de magnitud de algo.

Este tipo de "estimaciones" no son rigurosas pero sí comunes. Sin embargo, esto suele ser suficiente. Nótese que, independientemente del rigor de la desigualdad, la interpretación física seguirá siendo la misma: si el radio de esta esfera a la que está confinada la partícula disminuye, la incertidumbre del momento aumenta (es decir, es muy difícil confinar partículas a muy pequenos espacios).

Gracias Johny, una petición más. Digamos que sabemos que Δ PAG = 10 5 ¿Cómo podemos usar esto para decir que el promedio PAG será del orden de 10 5 ? P es el impulso.
Considere un análisis similar pero para la posición. Si Δ R = 10 5 , podemos concluir que la posición promedio es del orden 10 5 ? Eso podría ser cierto, pero hay varias distribuciones que tienen el mismo valor de Δ R . Estos se caracterizan por las soluciones de la ecuación de Schrödinger. En el enlace: en.wikipedia.org/wiki/… , apartado "Derivación de la ecuación radial", dicen que si límite r → 0 r 2 V ( r ) = 0 luego cerca de R = 0, R ∼ r yo , yo ≥ 0 . Esto de alguna manera justificaría su afirmación.

La primera fórmula es más precisa. Para un paquete de ondas gaussianas, las desviaciones estándar en x y p están relacionadas por esta expresión.

Una función de onda que es uniforme sobre un volumen esférico y cero fuera de él tiene componentes de momento alto debido a sus bordes afilados. Esto hace que el producto de las desviaciones estándar x y p sea mayor que ℏ / 2 = h / 4 π .

Una función de onda como esa no sería una solución de la ecuación de Schrödinger.
@kaylimekay Sí, lo haría. La ecuación libre de Schrödinger permite soluciones con momento arbitrario. A partir de estos puedo construir una función de onda que es uniformemente distinta de cero dentro de una esfera y cero fuera, en 1 punto en el tiempo.
Gracias my2cts, Beiser no habla de que la función de onda sea gaussiana pero procede a usar la segunda forma de HUP.
@my2cts Lo siento, lo dije mal. Lo que debería haber dicho es que la función de onda debería ser continua, para no tener energía infinita. Realmente no importa para la pregunta. Solo menciónalo ya que diste un ejemplo adicional.
@kaylimekay De hecho, no puede hacer que el paso funcione infinitamente nítido.

Esta respuesta es un comentario realmente.

La desviación estándar tiene un significado estadístico estricto.

La desviación de la raíz cuadrada media de x de su promedio se llama desviación estándar. Para un conjunto de medidas discretas, la desviación estándar toma la forma

estdevdiscr

para continuo:

stdevcont....

Determinar el promedio o la media en la expresión anterior implica la función de distribución de la variable.

desvst

La función de distribución también se define estadísticamente, por ejemplo:

distraer, veneno

Es por eso que el σ El símbolo generalmente se limita a la desviación estándar.

La incertidumbre de Heisenberg (HUP) generalmente se da como

HUP

con el Δ símbolo en lugar del σ tener claro que la función de distribución no es una de las estadísticas, sino que está dada por la solución mecánica cuántica de las ecuaciones y condiciones de contorno del problema, Ψ ∗ Ψ , una distribución de probabilidad, pero no estadística.

Si el principio de incertidumbre de Heisenberg involucra la desviación estándar de las cantidades, ¿por qué lo usamos de una manera diferente como aquí?
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