Si todo movimiento es relativo, ¿cómo es que la luz tiene una velocidad finita?

Parece que su confusión proviene de tomar paráfrasis como "todo es relativo" demasiado literalmente. Además, esto no es realmente exacto. Así que permítanme tratar de presentar esto de una manera diferente:

A la naturaleza no le importa cómo etiquetamos los puntos en el espacio-tiempo. Las coordenadas no tienen automáticamente algún significado "físico" real. En lugar de eso, concentrémonos en lo que nodependen de sistemas de coordenadas: estos son hechos geométricos o invariantes. Por ejemplo, nuestro espacio-tiempo es de 4 dimensiones. También hay cosas que podemos calcular, como la longitud invariable de un camino en el espacio-tiempo o los ángulos entre vectores. Resulta que nuestro espacio-tiempo tiene una firma lorentziana: más o menos lo que significa que una de las dimensiones actúa de manera diferente a las demás al calcular la distancia geométrica. Entonces no hay completa libertad para relativizar "todo". Algunas relaciones son una propiedad de la propia geometría y son independientes de los sistemas de coordenadas. No puedo encontrar la cita ahora, pero recuerdo haber visto una vez una cita en la que Einstein deseaba reflexionar que en lugar de la relatividad fuera la "teoría de los invariantes" porque eso es lo que importa.

Ahora, resulta que la firma lorentziana impone una estructura al espacio-tiempo. En buenas coordenadas cartesianas inerciales con unidades naturales, la longitud geométrica de un camino recto entre dos puntos es:
$ds^2 = - dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

A diferencia del espacio con una firma euclidiana, este separa pares de puntos en tres grupos diferentes:
$> 0$, espacio como separado
$< 0$, el tiempo como separado
$= 0$, separación "nula" o "ligera"

Independientemente del sistema de coordenadas que elija, no puede cambiarlos. No son "parientes". Están fijados por la geometría del espacio-tiempo. Esta separación (conos de luz si se ven como una comparación con un solo punto de referencia) es la estructura causal del espacio-tiempo. Es lo que nos permite hablar de un evento A causando B causando C, independientemente de un sistema de coordenadas.

Ahora, volviendo a su pregunta original, déjeme señalar que la velocidad en sí misma es un concepto que depende del sistema de coordenadas. Si tuviera un montón de reglas y relojes idénticos, incluso podría hacer una cuadrícula gigante de reglas y colocar relojes en cada intersección, para intentar construir una versión "física" de un sistema de coordenadas con diferencias espaciales que se leen directamente de las reglas. , y las diferencias horarias que se leen de los relojes. Incluso en esta situación idealizada aún no podemos medir la velocidad de la luz. ¿Por qué? Porque todavía nos falta concretar una pieza más: cómo se sincronizan los relojes remotos. Resulta que la convención de Einstein es sincronizarlos usandola velocidad de la luz como una constante. Entonces, en este sentido, es una elección... una elección del sistema de coordenadas. Hay muchos sistemas de coordenadas en los que la velocidad de la luz no es constante, o incluso depende de la dirección.

Entonces, ¿es eso? ¿Es una definición?
Esa no es una respuesta muy satisfactoria, y no completa. Lo que hace que la relatividad funcione es el asombroso hecho de que esta elección es incluso posible.

La declaración moderna de la relatividad especial suele ser algo así como: las leyes de la física tienen simetría de Poincaré (simetría de Lorentz + traslaciones + rotaciones).

Debido a la simetría del espacio-tiempo, podemos crear un número infinito de sistemas de coordenadas inerciales que coincidan en la velocidad de la luz. Es la estructura del espacio-tiempo, su simetría, lo que hace la relatividad especial. Einstein descubrió esto al revés, postulando que tal conjunto de marcos inerciales era posible y derivó de ellos las transformaciones de Lorentz para deducir la simetría del espacio-tiempo.

Entonces, en conclusión:
"Si todo movimiento es relativo, ¿cómo es que la luz tiene una velocidad finita?"
No todo es relativo en SR, y la velocidad, que es una cantidad dependiente del sistema de coordenadas, puede tener cualquier valor que desee con la elección adecuada del sistema de coordenadas. Si diseñamos nuestro sistema de coordenadas para describir el espacio de manera isotrópica y homogénea y describimos el tiempo de manera uniforme para obtener nuestros buenos marcos de referencia inerciales, la estructura causal del espacio-tiempo requiere que la velocidad de la luz sea isotrópica y finita y la misma constante en todos los sistemas de coordenadas inerciales. .

Primero: las ecuaciones de Maxwell predicen que la velocidad de la luz es absoluta. Toda la motivación de la teoría especial de la relatividad es reconciliar esto con la noción de que todo movimiento es relativo. En otras palabras, te preocupa exactamente lo mismo que preocupaba a Einstein. Simplemente no has entendido cómo lo resolvió.

La clave de su confusión está aquí:

Si un objeto se mueve (uniformemente) al 60% c y otro objeto también se mueve al 60% c pero en dirección exactamente opuesta, entonces desde la perspectiva de cualquiera de los dos (si aún pudieran verse) el otro parecería violar ese límite de velocidad.

Esto no es cierto. De hecho, desde la perspectiva de cualquiera de los dos, el otro se está alejando a una velocidad de aproximadamente$.88c$. Por supuesto, usted, de pie en el suelo, afirmará que se están alejando el uno del otro en$1.2c$. Esto es posible porque los observadores en movimiento entre sí no estarán de acuerdo con cosas como la distancia entre dos eventos y el tiempo entre esos eventos y, por lo tanto, no estarán de acuerdo con las velocidades a las que las cosas se alejan entre sí. La relatividad especial te dice exactamente cómo calcular esos desacuerdos.

Según mis cálculos, si toda la velocidad es relativa, no importa qué tan rápido vayas, la luz siempre debería alejarse de ti a la misma velocidad aparente. Es decir, no debería haber límite de velocidad.

Si una velocidad invariable$c$existe, entonces si una entidad tiene velocidad$c$ en relación con un marco de referencia inercial (IRF), la entidad tiene velocidad$c$en relación con todos los IRF.

Eso es lo que significa que haya una velocidad invariable.

Ahora, si piensas en eso por un momento, se deduce que una entidad con una velocidad menor que ( o mayor que )$c$en un IRF, no puede tener velocidad$c$en cualquier IRF.

De este modo$c$es una velocidad límite en este sentido: las entidades tienen velocidad$c$en todos los IRF o existe un IRF en el que la entidad tiene una velocidad arbitrariamente cercana a$c$.

Para leer más, recomiendo este artículo, Nothing but Relativity , en el que se muestra que, asumiendo solo el principio de la relatividad, la transformación de coordenadas más general involucra una velocidad invariante.

Deducimos las leyes de transformación del espacio-tiempo más generales consistentes con el principio de relatividad. Por lo tanto, nuestro resultado contiene los resultados de la relatividad tanto galileana como einsteiniana. La ley de la suma de velocidades surge como un subproducto de este análisis. También argumentamos por qué las versiones galileana y einsteiniana son las únicas realizaciones posibles del principio de relatividad.

Es un hecho experimental que la luz se mueve a la misma velocidad en todos los marcos de referencia, sin importar la teoría subyacente: vea el experimento de Michelson y Morley . Toda cantidad cinemática y dinámica depende del marco de referencia excepto la velocidad de la luz, que es la misma para todos los observadores.

Además del resultado experimental hay algo más profundo que proviene del principio de acción a distancia. Todas las interacciones presentes en el universo no se propagan instantáneamente, es decir, si algo sucede en algún lugar, un observador ubicado en otro lugar tarda un tiempo en detectar sus consecuencias, y esto es cierto de hecho. Por ejemplo, si toma un pequeño imán que genera un campo magnético y lo mueve de su posición inicial, un observador ubicado lejos tardará algún tiempo en detectar el cambio en el campo magnético generado. Dicho esto, como consecuencia debemos suponer que existe de alguna manera una velocidad según la cual se propagan las interacciones (sin importar cuál sea su naturaleza) y también esta velocidad debe ser un límite superior para cualquier otro evento en el universo, de lo contrario, dichos eventos ocurrirán antes de que puedan propagarse realmente y esto obstruiría la suposición inicial de que deben propagarse primero para ser detectados. En otras palabras, si hay una velocidad de "propagación" para la acción a distancia, esta velocidad debe ser un límite superior; además, tampoco debe depender del marco de referencia, de lo contrario no sería por definición la velocidad de propagación.

Una vez que comprenda que dicha velocidad límite debe existir, es fácil introducirla en las ecuaciones: no tiene más que postular que el mismo evento se propaga con ese límite superior de velocidad en cualquier marco de referencia, es decir, termina con

$$c^2t^2-x^2-y^2-z^2=c^2t'^2-x'^2-y'^2-z'^2$$ donde todo en el lado derecho está cebado excepto la velocidad superior $c$. Este es el punto de partida de la teoría especial de la relatividad.

Que esta velocidad es accidentalmente la velocidad de la luz se prueba experimentalmente. Landau y Lifschitz ofrecen un buen recorrido en sus libros de texto sobre la teoría clásica de campos; sin embargo, también podría ser interesante echar un vistazo al artículo original de Einstein (aunque lo encuentro mal escrito).

Según mis cálculos, si toda la velocidad es relativa, no importa qué tan rápido vayas, la luz siempre debería alejarse de ti a la misma velocidad aparente.

Lo hace. ¡Esa es la parte inteligente! No importa dónde estés o qué tan rápido vayas, siempre obtendrás la misma medida de 3*10^8 metros por segundo para la velocidad de la luz (en el vacío) que todos los demás.

Por supuesto, para que esto sea cierto, lo que obtienes cuando mides un metro o un segundo debe cambiar a medida que cambia tu velocidad. Esto es lo que quieren decir cuando dicen que "el tiempo se ralentiza" a medida que avanzas más rápido y también explica por qué nada que tenga masa puede alcanzar la velocidad de la luz. (Masa significa dimensión que tendría que volverse infinita para que la luz aún se midiera en 'c' en relación con la masa y eso no puede suceder).

La fantástica respuesta de Gennaro Tedesco muestra cómo la velocidad$c$viene a significar la velocidad máxima que pueden propagar los enlaces causa-efecto, en relación con cualquier observador.

Para resumir la respuesta de Gennaro para responder a su pregunta del título, la velocidad en cuestión es la velocidad de propagación de causa-efecto en relación con el marco de reposo del observador. Mide el tiempo que tarda la causa-efecto en propagarse entre el kit experimental en reposo en relación con el observador en su marco de laboratorio en reposo. Si está controlando un aparato en reposo en relación con usted a una distancia$d$lejos de ti en tu marco de descanso por control remoto, tomará tiempo al menos$d/c$para que su señal de control llegue al aparato, y este retraso mínimo por unidad de distancia$c^{-1}$es el mismo para todos los laboratorios en marcos inerciales.

(originalmente un comentario, pero se está haciendo un poco largo, así que...)

Pruebe el video de VSauce nuevamente; en realidad explica el asunto. Pruebe el bit desde las 3:00 hasta las 4:30 unas cuantas veces, y piense mucho . Una de las partes difíciles de la Relatividad es que necesitas tener muchos conceptos en tu cabeza a la vez; realmente necesitas entender cada parte para deshacerte de la confusión. No hay nada realmente especial en la luz: se comporta de la misma manera que cualquier otra entidad sin masa. Y eso incluye el hecho de que cualquier observador, sin importar su estructura, percibe que la velocidad de la luz (la velocidad de la información) es la misma. Es realmente una propiedad del espacio-tiempo en sí mismo, no algo en el espacio-tiempo. Es posible que desee preguntar por qué las partículas sin masa en particular se comportan de esta manera en general, pero esa sería una pregunta bastante nueva :)

Para abordar su edición, este es exactamente el punto de que todos los observadores estén de acuerdo en una velocidad de la luz. En lo que respecta al observador desde un barco, en realidad no hay una velocidad máxima finita: pueden acelerar cada vez más rápido (siempre que tengan suficiente combustible) y debido a la dilatación del tiempo (que no es un truco simple, es fundamental para comprender la relatividad), se moverán cada vez más rápido, por lo que pueden decir. Desde un observador en, digamos, la Tierra, simplemente se moverán cerca de la velocidad de la luz, pero para ellos mismos, pueden estar yendo a 1000c o lo que sea.

El lenguaje es un poco confuso, especialmente cuando solo te quedas en la superficie: ideas como "relativo" y "absoluto" tienen un significado ligeramente diferente de lo que podrías pensar en el mundo de la Relatividad en el que vivimos. "Absoluto" es algo en lo que todos los observadores están de acuerdo. en. "Relativo" es todo lo demás.

Para que todos puedan estar de acuerdo en una sola velocidad de la luz: desde cualquier punto de vista, la luz siempre viaja a la misma velocidad. Sin embargo, eso es prácticamente lo único en lo que están de acuerdo, de ahí la cita engañosa "todo es relativo". Entonces, ¿por qué eso significa que no podemos ir colonizando estrellas con un motor warp? Después de todo, el observador en el barco puede observarse a sí mismo moviéndose a 1000c (ignorando los costos de combustible y otras complicaciones), entonces, ¿dónde está el "límite de velocidad"?

• El barco A viaja a una estrella distante a 1000c y tarda un mes en llegar allí, en lo que respecta a la tripulación.
• El barco B realiza el mismo viaje un mes después: nuevamente, la tripulación percibe que pasa un solo mes y la tripulación del barco A percibe la llegada de B un mes después de la llegada de A (dos meses después del lanzamiento de A, en lo que respecta a la tripulación de A) .

¿Eh? Ese es el motor warp, ¿no? No. El problema es el viaje de vuelta:

• El barco A viaja de regreso a casa, nuevamente a 1000c. Toma otro mes, haciendo que todo el viaje de ida y vuelta dure tres meses.
• Sin embargo, en la Tierra, esto tomó alrededor de 3000 meses: desde el punto de vista de la Tierra, la nave nunca viajó más rápido que la luz. De ahí la Paradoja de los Gemelos.

Si solo te preocupas por colonizar y explorar la galaxia, el único problema que trae la relatividad es el costo de acelerar lo suficientemente rápido con respecto a la fuente y el objetivo (y volver a desacelerar). Los viajes de regreso son del tipo complicado de la paradoja de los gemelos, que dilatan el tiempo. Pero esta también parece ser la forma en que funciona el espacio-tiempo. No importa qué ingenioso truco uses, realmente no puedes sortear esto: si usaste un "agujero de gusano atravesable", nuevamente estarías viajando a velocidades mucho más altas que cen lo que a ti respecta, pero tan pronto como regresaste a tu punto de origen, encontrarías que el viaje tomó mucho más tiempo de lo que pensabas, nunca viajaste más rápido queccon respecto a su punto de partida. Este es un bloque de construcción fundamental de toda la teoría de la relatividad: la forma en que funciona el espacio-tiempo. Es difícil ver cómo podría "arreglar" la relatividad manteniendo las observaciones confirmadas, como dice el dicho, "Relatividad especial, causalidad, FTL: elija dos".

Además, no olvide que el c ~= 300 Mm/ses solo una cuestión de unidades. Tiene mucho sentido decir eso c = 1y derivar todas las demás unidades a partir de eso; de hecho, es bastante práctico para algunas aplicaciones.

Me gustaría agregar un poco a la maravillosa respuesta de GreenBeans de que no todo es relativo. Él hace algunos puntos al final de su ya larga respuesta apresuradamente (no pretende ser una crítica):

...es una elección[, ]una elección de sistema de coordenadas[?] Hay muchos sistemas de coordenadas en los que la velocidad de la luz no es constante, o incluso depende de la dirección. Entonces, ¿es eso? ¿Es una definición? Esa no es una respuesta muy satisfactoria, y no completa. Lo que hace que la relatividad funcione es el asombroso hecho de que esta elección es incluso posible.

y mas adelante...

... Si diseñamos nuestro sistema de coordenadas para describir el espacio de manera isotrópica y homogénea y describir el tiempo de manera uniforme ...

A veces olvidamos en la relatividad y en la geometría diferencial que todavía hay una realidad objetiva en las coordenadas, por extrañas y centradas en el ser humano que puedan definirse y aunque las pensemos como construcciones humanas. Al menos en física, para que las coordenadas sean útiles, debe haber un procedimiento físico objetivo para encontrar el punto físico en el espacio-tiempo etiquetado por coordenadas dadas . Veamos esta física objetiva, no relativa.

Para usar las palabras de GreenBeans nuevamente, la elección que hace un invariante$c$posible y le da significado físico es la elección de coordenadas afines . Aproximadamente, estas son coordenadas definidas por múltiplos racionales de desplazamientos a lo largo de direcciones linealmente independientes en el espacio y el tiempo de intervalos uniformes marcados por varillas de medición unitarias y tictacs de reloj en cada uno de los marcos de inercia. La física entra en nuestra geometría en la medida en que hacemos el postulado físico de que la noción geométrica euclidiana de "recta" (más generalmente, segmento geodésico) y las construcciones idealizadas, definidas por los postulados de Euclides, de marcar un número racional por una unidad de longitud a lo largo de una recta línea son un buen modelo matemático de lo que hacemos cuando tomamos una regla y hacemos lo mismo. Este es un experimento , objetivamente comprobableresultado. Del mismo modo, la coordenada de tiempo entra en una descripción análoga marcando múltiplos racionales de la unidad "ticks", donde los tictacs están definidos por los procedimientos de Einstein con luz, o uno puede usar la definición en el Capítulo 1 de [1] que " Las garrapatas uniformes son aquellas que hacen que el movimiento de un cuerpo no influenciado por fuerzas parezca uniforme desde un marco de inercia.

Hay otra parte de la física objetiva, no relativa, esencial para el concepto de velocidad invariable y ese es el principio de Galileo: la noción de que un observador de que no hay ninguna medida que un observador en un marco inercial pueda hacer desde su propio marco que pueda detectar la velocidad del observador. movimiento relativo a cualquier otro marco. Esto se describe más poéticamente en la propia Alegoría del barco de Salviati de 1632 de Galileo dentro de su famoso "Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo" (el que lo metió en un montón de problemas con el Papa Urbano II cuando este último, teniendo un mal día de cabello, se puso un poco bolshie en el desprecio implícito en la infalibilidad papal).

Una vez que acepta el postulado de la relatividad de Galileo como una pieza de física objetiva, reproducible y no relativa, esto significa que las transformaciones de coordenadas entre marcos inerciales deben formar un grupo (hay algo más en esta afirmación, como muestro en mi sitio web [2] y también con suerte (sujeto a revisión) un próximo artículo de EJP). Así que una transformación general en coordenadas$X$es de la forma$X\mapsto f(T,\,X)$donde la transformación$T$pertenece a un grupo y$f$es la acción del grupo sobre las coordenadas. Entonces, una vez que acepta que la geometría afín modela sistemas reales de procedimientos topográficos y medición del tiempo, entonces la noción copernicana de que a la naturaleza no le importa dónde ponemos nuestro origen se traduce en

$$f(T,\,X_1+Y) - f(T,\,X_2+Y) =f(T,\,X_1) - f(T,\,X_2)$$

es decir , los componentes afines de los vectores que unen dos puntos del espacio-tiempo con coordenadas afines$X_1$y$X_2$no se ven afectados por un cambio arbitrario$Y$de origen. Entonces se sigue que la acción del grupo cumple la ecuación:

$$h(X+Y) = h(X)+h(Y),\text{ where }h(X)\stackrel{def}{=}f(T,X)-f(T,0)$$

que es la famosa ecuación funcional de Cauchy . Hay una y sólo una solución continua para esta ecuación y es$h(X) = \Lambda\, X$, dónde$\Lambda$es una matriz . Entonces, si hacemos el postulado físico adicional de que las transformaciones de coordenadas son continuas, entonces:

$$\text{Galileo's Postulate } + \text{Copernican Spatial Homogeneity Postualte }+\text{Continuity of Transformation Postulate} = \text{Co-ordinate Transformations Between Inertial Frames Form a Matrix Group }\\\text{Acting Linearly on Affine Co-ordinates}$$

El postulado físico de la transformación continua codifica el resultado experimental cotidiano de que, mientras viajamos en un autobús, vemos árboles y peatones en la calle cuando pasamos a pesar de que el autobús se está moviendo: no vemos sus imágenes fragmentadas en conjuntos caóticos desconectados. !

Otro usuario activo en este sitio, Benjamin Crowell, tiene una descripción maravillosa sobre cómo la geometría afín con la estructura métrica conduce a la transformación de Lorentz y al concepto de velocidad invariante en el capítulo 2 de su libro de relatividad general[3]. La siguiente es mi propia opinión al respecto.

Si además postulamos que hay movimientos colineales que son descritos por un grupo matriz parametrizado por un parámetro real tal que la composición del grupo es una función continua de este parámetro, entonces el único grupo de transformación de acuerdo con este postulado físico así como el de Galileo, el de Copérnico y la Continuidad de Transformación es de la forma:

$$\mathfrak{L} = \{\exp(\eta\,K)|\,\eta\in\mathbb{R}\}$$

por lo que cualquier transformación de coordenadas$\Lambda$transformar las coordenadas espacio-temporales entre marcos inerciales pertenece a un grupo de$4\times4$matrices de esta forma, donde$K$es una matriz constante que define la dirección del movimiento y$\eta$es un parámetro de rapidez generalizada , llamado rapitity . Solo piense en ello como una lectura de velocímetro transformada de una manera no lineal que descubriremos a continuación. Aunque este postulado suena un poco técnico, aquí está la idea física: cuando viajamos en un autobús, cuando aceleramos desde la parada del autobús a la velocidad de crucero, y cuando miramos por la ventana, vemos los movimientos de los árboles y los peatones en relación con nosotros. cambiar continuamente y no bruscamente.

Entonces ahora necesitamos encontrar la matriz.$K$. Ahora entran cuatro piezas de física más objetivas, comprobables experimentalmente y no relativas:

1. Isotropía espacial: ninguna dirección en el espacio tiene preferencia sobre ninguna otra;
2. La noción experimental de espacialmente "Ortogonal" corresponde en el Mundo Físico a la construcción idealizada, siguiendo los axiomas de Euclides, de la mediatriz de la línea que une dos puntos;
3. "Movie Reversal": si invertimos la coordenada de tiempo, invertimos las transformaciones de coordenadas. Una película de un objeto que experimenta un cambio de estado de movimiento inercial reproducido hacia atrás muestra la misma transformación que sufriría el objeto si se invirtiera la coordenada de tiempo (tenga en cuenta que esto generalmente no se aplica a los estados cuánticos de las partículas, que siguen el más general CPT Symmetry , pero se aplica , hasta donde sabemos, a las transformaciones de coordenadas);
4. Nuestro universo es Causal: es decir , la coordenada temporal de una causa es siempre menor que la de su efecto : "todas las causas preceden a sus efectos".

Dado el postulado de isotropía espacial, podemos alinear nuestro sistema de coordenadas para que el$x$el eje apunta a lo largo de la dirección del movimiento relativo. Luego usamos el postulado ortogonal junto con la isotropía para concluir que una transformación de coordenadas no cambia si rotamos el sistema de coordenadas en cualquier ángulo con respecto a la dirección del movimiento. En realidad, necesitamos la noción métrica de ortogonal para definir la rotación, y asumimos que la noción geométrica euclidiana de rotación, expresada por una matriz de rotación que conserva el producto interior euclidiano, corresponde a la noción física de rotación. Entonces, si rotamos nuestras coordenadas sobre el$x$-eje así a través del ángulo$\phi$, transformamos nuestras coordenadas para que$R_x(\phi)\,\Lambda\,R_x(\phi)^{-1} = \Lambda$y$R_x(\phi)\,K\,R_x(\phi)^{-1} = K$, de este modo$K$debe viajar con$R_x(\phi)$y así los subespacios invariantes de$R_x(\phi)$y$K$debe ser lo mismo. Los vectores propios de$R_x(\phi)$son$(0,\,0,\,1,\,\pm i)$junto con cualquier par de superposiciones linealmente independientes de$\hat{T}=(1,\,0,\,0,\,0)$y$\hat{X}=(0,\,1,\,0,\,0)$. Esta afirmación, junto con el entendimiento de que$K$debe ser real implica que lo más general$K$matriz debe tener la forma:

$$K=\left(\begin{array}{cccc}\kappa_{t\,t}&\kappa_{t\,x}&0&0\\\kappa_{x\,t}&\kappa_{x\,x}&0&0\\0&0&\kappa_{y\,y}&-\kappa_{y\,z}\\0&0&\kappa_{y\,z}&\kappa_{z\,z}\end{array}\right)$$

Aquí asumimos que nuestras coordenadas son vectores columna de la forma$(t,\,x,\,y,\,z)^T$. Ahora el postulado de la "inversión de la película" muestra que$K$debe convertirse$-K$cuando invertimos la coordenada del tiempo; de este modo$K$ anti -conmuta con$M=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$. Imponiendo esta anitconmutación, encontramos:

$$K=\left(\begin{array}{cccc}0&\kappa_{t\,x}&0&0\\\kappa_{x\,t}&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right)$$

y solo el$x$y$t$mezcla de coordenadas por la siguiente$2\times 2$matriz:

$$\Lambda(\eta) = \exp\left(\eta^\prime\left(\begin{array}{cc}0&\kappa_{t\,x}\\\kappa_{x\,t}&0\end{array}\right)\right) = \left( \begin{array}{cc} \cosh\left(\sqrt{\zeta }\, \eta \right) & \frac{\sqrt{\zeta } }{c} \sinh\left(\sqrt{\zeta} \,\eta \right)\\ \frac{c}{\sqrt{\zeta }} \sinh\left(\sqrt{\zeta }\, \eta \right)& \cosh\left(\sqrt{\zeta}\, \eta \right) \\ \end{array} \right)$$

dónde$\zeta=\pm1$es el signo de$\kappa_{t\,x}\,\kappa_{x\,t}$y la constante con dimensiones de velocidad definidas por:

$$\begin{equation} \kappa_{t\,x} = \frac{\zeta}{c^2}\,\kappa_{x\,t} \end{equation}$$

Dado que podemos absorber cualquier constante real que queramos en el parámetro de rapidez y aún así obtener un parámetro de rapidez aditivo ( es decir , $\Lambda(\eta_1)\Lambda(\eta_2) = \Lambda(\eta_1+\eta_2)$), hemos reemplazado$\eta\,\kappa_{x\,t}/c_I$por$\eta$en lo anterior.

Por último, nos fijamos en la firma.$\zeta$. Si$\zeta=-1$, entonces la matriz anterior se convierte en la matriz de rotación :

$$\left(\begin{array}{cc}\cos\eta &-\frac{1}{c} \sin\eta\\c \sin\eta& \cos\eta \\\end{array}\right)$$

lo que significa que para cada vector entre las coordenadas espacio-temporales de una causa y su efecto, podemos encontrar un marco inercial, definido por$\eta=\pi$, donde este vector tiene dirección inversa . Esto viola claramente el postulado de causalidad, por lo que concluimos$\zeta=+1$. Cuando$\zeta=+1$, la transformación es

$$\left(\begin{array}{cc}\cosh\eta &\frac{1}{c} \sinh\eta\\c \sinh\eta& \cosh\eta \\\end{array}\right)$$

cuyos vectores propios son$(t\,x) \propto (1,\,\pm c)$. Esto significa que$c$es invariante : es la misma constante para todos los observadores inerciales. Además, con esta elección, recuperamos nuestra noción intuitiva de causalidad: la observación cotidiana de que las causas preceden a los efectos, pero solo si además postulamos que la velocidad invariante$c$es el límite de velocidad para la propagación de causa-efecto, como en mi otra respuesta . La causalidad no es la única física que cambiaría radicalmente si$\zeta=-1$: sabemos $\zeta=+1$experimentalmente sin siquiera levantarnos de nuestro asiento: otra física y relaciones que surgirían con$\zeta=-1$son explorados por el autor de ciencia ficción Greg Egan en su trilogía Orthogonal [4]. Un resumen maravilloso y correcto de algunos de estos extraños cambios en un universo no lorentziano se proporciona como introducción a su trilogía en el sitio web de Egan[5] e incluye una velocidad de luz variable dependiendo de la longitud de onda, por lo tanto, una dispersión espectral de colores en el cielo nocturno, la {\it disminución} de la energía total de un cuerpo a medida que aumenta su velocidad y la {\it emisión} de luz por parte de las plantas para permitirles obtener energía mediante la fotosíntesis.

Ahora bien, si establecemos$c\to\infty$recuperamos la Relatividad de Galileo y así se ve que es la única relatividad de acuerdo con nuestros postulados que tiene un tiempo absoluto, es decir, todos los observadores inerciales miden el mismo intervalo de tiempo entre dos eventos. Así vemos que la Relatividad Especial es simplemente la relatividad de Galileo con el supuesto de un tiempo absoluto relajado . Cuando relajamos esta suposición, la relatividad de Galileo predice toda una familia de relativitos, cada uno parametrizado por un valor diferente de$c$.

Entonces, en resumen,$c$no necesita ser pensada como una velocidad, sino simplemente como una constante universal, no relativa, que elige cuál de las relatividades de Galileo es seguida por nuestro Universo, y tiene el significado experimental de la velocidad máxima de propagación de un enlace causa-efecto como describo en mi otra respuesta . Para llegar a esta conclusión, hemos utilizado los postulados físicos reproducibles experimentalmente, objetivos y no relativos discutidos en esta respuesta.

Cabe señalar que la primera persona en pensar en la línea de una relatividad no basada en la luz fue Vladimir Ignatowski en 1910[6]. En la bibliografía de mi artículo [2] se dan otras referencias que describen y se basan en su enfoque, del cual se puede ver una preimpresión en mi sitio web.

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Referencias

[1]: Charles Misner, Kip Thorne y John Wheeler, Gravitation : el famoso "gran libro negro", un proyecto bastante difícil de leer, pero en última instancia muy claro y definitivamente una adquisición que vale la pena para cualquier persona interesada en la relatividad especial o general. Una versión de tapa dura también es esencial (consíguelo de segunda mano: $202 por un libro de bolsillo es una barbaridad), ya que esta bestia es tan grande que su propio peso destruye por completo incluso las encuadernaciones de libro de bolsillo de la mejor calidad después de unos meses de lectura junto al fuego. También puede esperar una edición de Kindle o, como hice yo, comprar un libro de bolsillo y escanearlo.

[2]: Rod Vance, "Of Galileo, Groups and What's So Special about the Speed ​​of Light", en revisión por el European Journal of Physics

[3]: Benjamin Crowell, General Relativity Consulte el Capítulo 2 para obtener una excelente discusión sobre cómo la forma de la transformación de Lorentz se deriva de la geometría afín y métrica. Por cierto, también tiene un libro de relatividad especial.

[3b] Benjamin Crowell, Special Relativity pero, para los fundamentos como los que estamos pensando aquí, en realidad encuentro más claras las secciones relevantes de su texto GR. También tiene una lectura divertida:

[3c] Benjamin Crowell, Relativity for Poets , en el que hace una gran presentación de las ideas subyacentes, las filosofías y la historia de la relatividad. Aunque está destinado a ser "Relatividad Lite" para no especialistas, sin embargo, brinda algunas ideas claras que no están presentes en más tratamientos matemáticos, por lo que también es una buena lectura para los físicos.

[4]: Greg Egan, The Orthogonal Trilogy: libro 1 The Clockwork Rocket , (2011) libro 2 The Eternal Flame , (2012) ambos publicados Nightshade Books; libro tres Las flechas del tiempo , (2013) Orion Publishing Group

[5]: Greg Egan, "Plus, Minus: Una suave introducción a la física de ortogonales "

[6]: Vladimir Ignatowski, "Einige allgemeine Bemerkungen über das Relativitätsprinzip", Physikalische Zeitschrift 11 pp972–976, 1910 Traducción al inglés, "Algunas observaciones generales sobre el principio de relatividad" está aquí

Aunque hay varias respuestas excelentes, tal vez mi respuesta elimine su confusión. En su afirmación "si todo el movimiento es relativo... velocidad finita", debe prestar especial atención a las palabras movimiento y velocidad .
El movimiento es sólo un desplazamiento espacial . Qué tan rápido se logra, es irrelevante.
La velocidad es una tasa de cambio del desplazamiento espacial por unidad de tiempo. Son "entidades" diferentes .

Un ejemplo podría aclararlo:
hay dos barcos en el mar, uno va hacia el este a 100 mph y el otro hacia el oeste a 100 mph. Son paralelos entre sí y separados por unos 100 pies. Un pez nada entre ellos a una velocidad de 200 mph.
La pregunta ahora es, ¿cuál es la velocidad del pez? La respuesta, obviamente, es 200 mph. ¿Cuál es el movimiento
relativo de los barcos? Se están alejando unos de otros. El movimiento del barco no tiene nada que ver con la velocidad del pez. Esta velocidad está determinada por las características del pez y del agua del mar. Asimismo, la velocidad de la luz (ondas electromagnéticas), depende de las características de la luz y del "medio" de propagación.

Suponiendo un universo homogéneo, la velocidad de la luz tendría un valor constante en todo el universo (independiente de cualquier observador).

Si todo movimiento es relativo, ¿cómo es que la luz tiene una velocidad finita?

Por la naturaleza ondulatoria de la materia. Echa un vistazo a El otro significado de la relatividad especial de Robert Close . Cuando tú y tus varas y relojes están hechos de ondas, calibras tus varas y relojes usando el movimiento de las ondas, luego los usas para medir el movimiento de las ondas. No importa qué tan rápido se muevan esas ondas, esta tautología inherente significa que siempre mides la velocidad de la luz para que sea la misma. Ver http://arxiv.org/abs/0705.4507 donde Magueijo y Moffat hablan al respecto:

"Siguiendo a Ellis, consideremos primero a c como la velocidad del fotón. ¿Puede variar c? ¿Podría medirse tal variación? Como señaló correctamente Ellis, dentro del protocolo actual para medir el tiempo y el espacio, la respuesta es no. La unidad de tiempo se define por un sistema oscilante o la frecuencia de una transición atómica, y la unidad de espacio se define en términos de la distancia recorrida por la luz en la unidad de tiempo. Por lo tanto, tenemos una situación similar a decir que la velocidad de la luz es "un año luz por año", es decir, su constancia se ha convertido en una tautología o una definición".

A menudo he oído que Einstein hizo añicos la noción de movimiento absoluto (es decir, todas las cosas se mueven unas respecto a otras) y que estableció que la velocidad de la luz era absoluta. Eso me suena paradójico; No puedo entender cómo se pueden reconciliar los dos conceptos.

Es un mito popularizado por personas que en realidad nunca han leído lo que dijo Einstein y que apelan a su autoridad mientras contradicen rotundamente lo que dijo. Mira esto :

La velocidad de la luz varía en la habitación en la que te encuentras. Si no fuera así. tu lápiz no se caería. También vea este artículo de Baez .

Volviendo a la pregunta: la relatividad nos muestra que no existe un marco de referencia universal por el cual juzgar el movimiento.

Ese es otro mito, me temo. Echa un vistazo al marco de descanso CMB . Nuestro grupo local de galaxias se mueve a alrededor de 627 km/s en relación con el marco de referencia del CMB.

Luego está la velocidad de la luz (en el vacío). La velocidad de la luz es el último "límite de velocidad", se dice a menudo. Pero si no existe un marco de referencia universal, ¿cómo puede existir tal velocidad? La idea misma solo tiene sentido si hay un marco universal.

Véase más arriba. El marco de reposo CMB es el marco de referencia del universo.

Todas estas consecuencias de la flexión del espacio-tiempo utilizadas para explicar por qué nada puede moverse más allá de esta velocidad solo parecen consagrar el concepto de que existe un estándar de velocidad final.

Echa un vistazo a la producción de pares y la naturaleza ondulatoria de la materia. Nada puede moverse más rápido que la velocidad de las olas porque están hechas de olas.

Tal vez que haya un tejido espacial real en relación con el cual todo se mueve, razón por la cual hay algo para expandirse entre las galaxias (más rápido de lo que la luz puede propagarse) en la expansión métrica del espacio. Al crecer, siempre pensé que esto simplemente comenzaría a tener sentido con el tiempo. Ahora estoy en un nivel de primer año (universitario) en física, incluso sé cálculo básico, pero todavía estoy irremediablemente confundido.

Lee lo que dijo Einstein, y no lo serás. Pensó en el espacio como algo en lugar de nada, véase su Discurso de Leyden de 1920 . Y lea esto del premio Nobel Robert B Laughlin:

"Es irónico que el trabajo más creativo de Einstein, la teoría general de la relatividad, se reduzca a conceptualizar el espacio como un medio cuando su premisa original [en relatividad especial] era que tal medio no existía..."

Para empezar, la Relatividad Especial solo parece extraña para alguien que no la ve en funcionamiento en su totalidad. Si se ve en su totalidad, se convierte en nada más que una simple imagen única. A partir de esa simple imagen única se puede, en cuestión de minutos, derivar la colección completa de ecuaciones de la Relatividad Especial. Para aprender la Relatividad Especial por uno mismo, simplemente necesita analizar el movimiento por uno mismo, y hacerlo comenzando desde cero.

Imagine la existencia de un entorno de 4 dimensiones "Absoluto" que tiene 3 dimensiones de espacio y 1 dimensión de tiempo. Llamémoslo Espacio-Tiempo. Ahora imagine que todos los objetos que se encuentran dentro de este entorno 4D están en constante movimiento y que todos se mueven con la misma magnitud de movimiento.

Si este movimiento fuera solo en la dirección de moverse a través del espacio, otros medirían este movimiento en curso como la velocidad de la luz. Por lo tanto, en general, lo que tenemos es un movimiento "Absoluto" que está constantemente en curso dentro de un entorno 4D "Absoluto". Si un ave cambia su dirección de viaje espacial, el ave gira en el espacio. Si cualquier objeto dentro del espacio-tiempo 4D cambia su dirección de viaje, también rotará.

Ahora, si procedes a analizar el resultado que se produce a través de esta combinación de "absolutos" y rotación, terminas con la relatividad especial y también derivas rápidamente todas las ecuaciones matemáticas.

Al comenzar con los absolutos que te llevan a la Relatividad Especial, uno a su vez ve el fundamento absoluto en el que reside la Relatividad Especial. Una vez logrado esto, se convierte en un juego de niños entender por qué todos los observadores miden la velocidad de la luz en 300.000 km/s.

Sin embargo, si estos absolutos se dejan fuera de la imagen, entonces la comprensión de la Relatividad Especial se vuelve menos que absoluta, por lo que la velocidad de la luz, a su vez, no tiene una referencia absoluta.

El principio general de la relatividad

• Las leyes locales de la física son las mismas independientemente de la materia de referencia que utilice un observador en particular para cuantificarlas.

es una expresión del Principio de Uniformidad en la Naturaleza de Hume,

• el comportamiento fundamental de la materia es siempre y en todas partes el mismo.

Sin este principio, no habría ciencia porque si las leyes pudieran cambiar, observarlas no tendría sentido.

De ello se deduce que todos los observadores pueden establecer sistemas de coordenadas exactamente de la misma manera. Hay entonces dos posibilidades. O hay, o no hay, una velocidad máxima en la naturaleza. Si no fuera así, las leyes de la física serían diferentes de las que observamos (p. ej., la relatividad newtoniana se mantendría para la electrodinámica clásica y numerosas predicciones de la relatividad confirmadas empíricamente habrían sido falsas. Las ecuaciones de Maxwell y la mecánica newtoniana no son empíricamente compatibles. La observación apoya la teoría de Maxwell ecuaciones, y la relatividad muestra cómo modificar la mecánica newtoniana para que coincida con la observación). Por lo tanto, existe una velocidad máxima que es necesariamente constante para todos los observadores.

La relatividad depende de este argumento lógico, no estrictamente de la velocidad física de la luz. Simplemente sucede que, para la precisión de la medición, la velocidad de la luz es igual a la velocidad máxima.

¿Cómo es que la luz tiene una velocidad finita?

La velocidad de la luz, que es 1 segundo luz por segundo (denotado en C = 1ls/s). Es un límite de velocidad constante e invariable . Y es así , para que se pueda preservar la causalidad en el marco de la relatividad de Einstein.

La forma en que esto se hace, es aceptando axiomáticamente que nuestra teoría va a hablar de un Universo que tiene un espacio-tiempo, y en ese espacio-tiempo, TODO (al menos macroscópicamente) ¡puede viajar a UNA y SOLO UNA velocidad! La velocidad de C = 1ls/s.

Ese axioma o postulado se lo damos a nuestra teoría , ¡ porque ese es el tipo de Universo que queremos examinar! Queremos examinar, "cómo se comportaría tal Universo si tuviera un límite de velocidad" porque eso es lo que mostró nuestro experimento... Así que ese es el tipo de Universo que queremos examinar...

Si nuestra teoría va a ser útil o no para el mundo real, por ahora es irrelevante...

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Entonces, en ese Universo teórico que acabamos de definir, puedes viajar SÓLO en C en el espacio-tiempo... Lo que significa que puedes ir tan rápido en el espacio como quieras, o tan rápido en el tiempo como quieras SIEMPRE QUE tu velocidad neta en el espacio-tiempo es SIEMPRE igual a C.

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¡Así que todo viaja a la velocidad de la luz en ese espacio-tiempo! ¡Incluso tú y yo ahora mismo! La única diferencia es que estamos viajando muy lento en el espacio pero también muy rápido en el tiempo... Si combinas ambas velocidades (velocidad en el tiempo y velocidad en el espacio), ¡estás viajando exactamente a la velocidad de la luz en el espacio-tiempo!

Si ahora comienzas a acercarte a la velocidad de la luz en el espacio, irás muy rápido en el espacio pero también muy lento en el tiempo... Al final, tu velocidad en el espacio-tiempo seguirá siendo igual a C...

¡Porque la luz ahora, va tan rápido como puede en el espacio y en el tiempo su velocidad será CERO! *

Y cada observador puede, por supuesto, considerarse a sí mismo como estacionario en el espacio. (Lo que significará que están envejeciendo a la velocidad de la luz en el tiempo (desde su perspectiva)). Y si ese espacio-tiempo es plano, ¡tendrán razón!

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Otra pregunta popular a esto es " ¿por qué no puedo ir más rápido que la luz? "

¡Bien tu puedes! ¡Algo así como! :D

Verás, antes de Einstein pensábamos que podías alcanzar cualquier velocidad en el espacio que quisieras... Lo que significa que teóricamente podrías viajar 1 año luz por día si quisieras...

Pero veamos que significa eso...

Si empiezas en la fecha 01/01/2000 y viajas 1 año luz por día hacia una estrella a 1 año luz de distancia... Significará que cuando llegues a tu destino, la hora allí será el 01/02/2000... ¡Porque te tomó 1 día llegar allí!

¡Ahora con Einstein eso sigue siendo cierto! ¡Todavía puedes viajar a 1 año luz por día! ¡Pero hay un problema!

Entonces te subes a tu nave espacial, viajas a la velocidad de 1 año luz por día, y llegas a esa estrella a 1 año luz de distancia después de un día... Así que para ti la fecha es 01/02/2000. Pero cuando echas un vistazo a la fecha allí, dice 01/01/2050

:O

Desde tu punto de vista, pasó 1 día... Pero desde su punto de vista, ¡pasaron 50 años! (Los números son aleatorios solo para el ejemplo...)

Entonces te das cuenta de que aún puedes viajar a la velocidad que quieras, ¡pero el tiempo no te seguirá! ¡Porque cuanto más rápido viajas en el espacio, más lento viajas en el tiempo! ¡Así que al final, EN EL ESPACIO DE TIEMPO, todavía viajaste a la velocidad de la luz! A pesar de que alcanzó una estrella de un año luz de distancia en 1 día, ¡su velocidad neta en el espacio-tiempo fue aún más lenta que la velocidad de la luz!

:O

La luz, puede alcanzar CUALQUIER distancia INSTANTÁNEAMENTE desde su propia perspectiva... ¡ Porque la velocidad de la luz en el tiempo (como dijimos*) es cero! Pero desde nuestro punto de vista, la luz todavía tarda 8 minutos en llegar desde el Sol...

Entonces, como puedes ver, PUEDES viajar tan rápido como quieras y llegar a cualquier distancia en cualquier momento... ¡SIEMPRE QUE solo te importe TU TIEMPO! Porque cuando llegues a tu destino, las personas que posiblemente vivieron allí, se habrán ido, envejecido y muerto hace mucho tiempo...

¡Ese es el significado del límite de velocidad universal!

En última instancia, el límite de velocidad se debe a que descubrimos que el espacio-tiempo es hiperbólico. Un espacio-tiempo euclidiano tiene un límite de velocidad en el tiempo. Un espacio-tiempo hiperbólico tiene un límite de velocidad en el espacio-tiempo.