¿Se pueden cuantificar sistemas con simetrías locales (¡sin calibre!)?

¿Es inherentemente problemático cuantizar las teorías clásicas con simetrías locales? Por ejemplo, considere la acción de EM pero ahora interprete A m como físico . En un nivel clásico, no hay nada que me impida hacer eso (aunque podría darte una sensación incómoda). ¿Hay algo que me impida convertir esto en una teoría cuántica? De hecho, parece que puedo escribir la integral de trayectoria de esto, que de hecho coincidirá con la integral de trayectoria invariante de calibre de EM estándar --- hasta una constante global (irrelevante) que mide el volumen de las órbitas de calibre ( que es solo el volumen constante del grupo de calibre).

Nota: Soy consciente de que el procedimiento habitual es problemático ya que el propagador no está bien definido. Sin embargo, ese no es un problema intrínseco y es más bien una deficiencia del punto de vista perturbativo. De hecho, la teoría de calibre de celosía puede cuantificar teorías sin fijar un calibre, eludiendo el problema del propagador antes mencionado.

De hecho, si simplemente tomo una tu ( 1 ) teoría del calibre de celosía e ignorar la restricción, ¿parece que tengo una teoría cuántica perfectamente definida con una simetría local? Al mismo tiempo, parece sorprendente desde un punto de vista conceptual: las simetrías que son locales en el tiempo ya son muy extrañas a nivel clásico porque implican una indeterminación a nivel de A m (incluso fijando valores iniciales y finales, uno puede deformar suavemente A m en tiempos intermedios). Esto sugeriría que una formulación hamiltoniana (donde A m se toma como físico ) sería problemático. Si tomo una teoría de calibre reticular e ignoro cualquier restricción de calibre, ¿está subdeterminada la teoría? (Un contraejemplo parece ser el código tórico H = − k ∑ A v − ∑ B pag : para k → ∞ esta es una teoría de calibre con restricción A v = 1 , sin embargo para k finito esto puede interpretarse como un modelo físico con una simetría local, pero no es indeterminado. Una posible salida: agregar explícitamente A v al hamiltoniano podría ser equivalente ---en una imagen lagrangiana--- a destruir la simetría que era local en el tiempo (claramente, ¿mantener la simetría que es local en el espacio )?)

Tenga en cuenta que, en general, calibre ≡ local. La "simetría local (¡sin calibre!)" es un oxímoron. Tenga en cuenta también que los grados de libertad de calibre siempre tienen una norma negativa, por lo que rompen la unitaridad, lo que obviamente no es bueno.
No todas las simetrías locales son simetrías de calibre. Por ejemplo, las simetrías conformes 2D son locales, pero no de calibre.
@AccidentalFourierTransform: en muchos casos, hay simetrías locales que no son de calibre. Simetrías asintóticas en AdS 3 son un ejemplo. Más recientemente, ha habido una discusión sobre el grupo BMS, que es una simetría de difeomorfismo sin calibre de la relatividad general en el espacio-tiempo plano.
Para la mayoría de las personas, "calibre" y "local" son sinónimos. ¿Cuál es la definición de "calibre" que no sea "parámetro de simetría depende de X "? Pero esto no es relevante para la pregunta en el OP de todos modos, así que no importa.
@AccidentalFourierTransform 'calibre' significa 'redundancia en la descripción'. Esto, por ejemplo, afecta la medida que se usa en la integral de trayectoria. Tenga en cuenta que no es necesario medir las simetrías locales (considere los CFT, o más simplemente la cadena de Ising cuántica H = ∑ norte σ norte X σ norte + 1 X que ---en este límite--- tiene simetrías locales PAG norte = σ norte X ). Además, las simetrías de calibre no necesitan ser locales (por ejemplo, la 'simetría' de paridad fermiónica se considera comúnmente como una simetría de calibre global, ya que solo los estados cuya paridad bien definida son físicos).
@Ruben Verresen: Considere poner estas definiciones en la publicación principal (en lugar de los comentarios) ya que diferentes autores tienen terminología diferente y los comentarios pueden desaparecer en el futuro.

Respuestas (1)

Por qué las transformaciones locales deben ser transformaciones de calibre :

Tradicionalmente, la cuantización es una receta en la que el espacio de fase de un sistema clásico se reemplaza por un espacio de Hilbert de un sistema cuántico; y las funciones en el espacio de fase que representan los observables se reemplazan por operadores en el espacio de Hilbert. Además, la acción de los observables clásicos en el espacio de fases se reemplaza por una acción cuántica de sus contrapartes cuánticas ponderada por un parámetro ℏ tal que en el límite ℏ → 0 , la acción coincide con la acción clásica (principio de correspondencia).

Aunque en muchas aplicaciones no se pronuncia explícitamente, un procedimiento de cuantificación debe comenzar desde un espacio de fase. El significado básico de un espacio de fase es el espacio de todas las condiciones iniciales posibles (espacio de datos iniciales). En el nivel básico, tratamos con sistemas cuyas ecuaciones de movimiento satisfacen la propiedad de existencia y unicidad de las soluciones; así cada condición inicial corresponde a una única solución. Por lo tanto, podemos pensar en el espacio de fase como el espacio de todas las soluciones clásicas. La última definición de espacio de fase tiene ventajas ya que no necesita separar el tiempo de las otras coordenadas y permite una definición covariante del espacio de fase. En la literatura física, se conoce por el formalismo de Crnković-Witten .

Cuando existen simetrías locales, se pierde la propiedad de unicidad de las soluciones y existen combinaciones de coordenadas o campos en el Lagrangiano que no están controlados por las ecuaciones de movimiento y pueden asumir valores arbitrarios. La teoría no puede decir nada sobre ellos. Por otro lado, las combinaciones que se controlan son exactamente las combinaciones invariantes de calibre. Esta es una de las consecuencias del segundo teorema de Noether .

Recordando la definición básica del espacio de fase como el espacio de condiciones iniciales; lo mejor que podemos hacer es trabajar con el subespacio de datos iniciales que la teoría puede controlar; es decir, el espacio de observables invariantes de calibre. Estos observables generan el espacio de fase reducido, es decir, un espacio de fase en el que se mide la simetría local.

Este espacio en general no es una variedad. Contiene puntos de singularidad, que dificultan la cuantización incluso en sistemas mecánicos cuánticos simples; consulte a Emmrich y Römer . Esta es la razón por la que se utilizan métodos como BRST para imponer la simetría de calibre después de la cuantificación.

En el enrejado:

En la red, solo se calculan los correladores de observables invariantes de calibre. En este caso, la redundancia de calibre se manifiesta por una constante multiplicativa del volumen del grupo de calibre discretizado tanto en el denominador como en el numerador. Estaríamos cometiendo un error si hubiéramos calculado correladores de cantidades no invariantes de calibre que no están controladas por la teoría. Sus correladores no dependerán de ningún parámetro de la teoría (como las constantes de acoplamiento) que queramos estudiar y producirían simplemente un resultado aleatorio, muy sensible al método que elijamos para interpretarlos como observables cuánticos.

Además, es mucho más conveniente trabajar en el espacio de fase no reducido en la red. Sería extremadamente difícil si hubiéramos trabajado en el espacio de fase reducido que, como se explicó anteriormente, es un espacio muy complicado.

Simetría global

En contraste con el caso de la simetría de calibre, la teoría no restringe cómo tratamos las simetrías globales. Siempre que no sean anómalas, tenemos, en principio, la libertad de calibrar las simetrías globales o dejarlas como simetrías del sistema (clásico y cuántico). En el primer caso interpretamos operaciones de configuración relacionadas por simetría como un mismo estado físico, mientras que en el segundo las interpretamos como estados físicos distintos relacionados por simetría. Un caso especial de estas simetrías son las simetrías de gran calibre que, en muchos ejemplos, actúan como simetrías y no como redundancias, ya que se conectan entre estados físicamente distintos. Este tema se discutió muchas veces aquí en Physics stack exchange; consulte la siguiente respuesta y las referencias que contiene.

simetrías asintóticas

Las simetrías asintóticas son simetrías de "calibre" en espacios no compactos o espacios con una superficie cerrada especial que deja las condiciones de contorno invariantes módulo aquellas conectadas al componente de identidad. Estas simetrías generan, en ciertos casos, grupos de Lie de dimensión infinita, y tampoco están incluidas en el segundo teorema de Noether que supone soporte compacto de la variación. Estas simetrías dan lugar a cargas físicas como cargas eléctricas y magnéticas. Por lo tanto, también deben considerarse como simetrías globales desde el punto de vista del proceso de cuantificación.

Resumen

Las simetrías locales asintóticamente triviales deben considerarse como transformaciones de calibre

Una advertencia matemática: para violar la singularidad de la evolución del tiempo, debe ser posible construir una simetría que desaparezca en los datos iniciales. Esto es fácil en la teoría de Yang-Mills, pero no está garantizado en general.
@ user1504, ¿te refieres a una simetría, es decir, una transformación que conmuta con el hamiltoniano, que además actúa de manera trivial en la variedad de datos iniciales?
Sí. Fácil de hacer que eso suceda con funciones suaves. Imposible con holomorfas.
@ user1504 Pero si la simetría es trivial en los datos iniciales y conmuta con el hamiltoniano, entonces será trivial en todo momento, entonces, ¿por qué no solo está representado por el mapa de identidad \ el operador de identidad?
¿Se pueden cuantificar sistemas con simetrías locales (¡sin calibre!)?
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