¿Por qué diferentes potenciales vectoriales en el problema de los niveles de Landau conducen a diferentes funciones de onda del estado fundamental de la mecánica cuántica?

Considere que una partícula cargada (electrón) se mueve en el plano xy bajo un campo magnético que apunta a lo largo de la dirección z, es decir, B → = B z ^ . Como consecuencia, podemos anotar tres calibres diferentes:

  1. calibre simétrico: A → = ( A X , A y ) = B 2 ( − y , X ) ,
  2. calibre invariante traslacional a lo largo de x: A → = B ( − y , 0 ) , y
  3. calibre invariante traslacional a lo largo de y: A → = B ( 0 , X ) .

Como se abordó y preguntó anteriormente en otra publicación Partícula cuántica cargada en un campo magnético , las respuestas fueron que las tres funciones de onda de estado fundamental diferentes que resultan de las tres opciones de calibre diferentes anteriores están conectadas por transformaciones lineales y dan lugar al mismo espectro de energía. Por lo tanto, todo es consistente. Trabajando a través de la derivación detallada, por ejemplo, la nota de niveles de Landau de Hitoshi Murayama , vemos que

  1. el calibre simétrico da lugar a la función de onda del estado fundamental: ψ norte ( z , z ¯ ) = norte norte z norte Exp ⁡ ( − mi B z ¯ z 4 ℏ C ) , dónde z = X + i y y z ¯ = X − i y , mientras
  2. A → = B ( 0 , X ) da lugar a diferentes funciones de onda de estado fundamental (no normalizadas): ψ 0 ( X , y ) = Exp ⁡ ( i k y y − mi B 2 ℏ C ( X − ℏ C mi B k y ) 2 ) .

Es obvio que los dos estados fundamentales son diferentes, y por lo tanto | ψ | 2 . Mi pregunta es cómo nuestra diferente elección de calibre, proveniente del mismo campo magnético físico, da como resultado diferentes | ψ | 2 , a pesar de que conduce al mismo espectro de energía?

Creo que debe tener cuidado al intentar comparar estas dos funciones de onda. Como sabe, los GS wf son muy degenerados, por lo que podría construir un wf de un calibre como la superposición de wf del otro.
@AccidentalFourierTransform: creo que el punto del OP es que las cantidades físicas son independientes del calibre, y puede preguntar por qué ⟨ X ^ ⟩ cambiaría con el calibre, ya que el wf cambia.
@AccidentalFourierTransform Lo sé. Pero creo que la respuesta es un poco más sutil que simplemente decir "tiene que ser invariante de calibre, por lo que es".

Respuestas (2)

Por supuesto, observables como | ψ | 2 tiene que ser invariante de calibre, y las funciones de dos ondas de OP, en dos calibres diferentes, dan obviamente dos distribuciones de probabilidad diferentes.

La resolución de la paradoja proviene del hecho de que las dos funciones de onda describen de hecho dos estados fundamentales diferentes, como se puede ver a continuación. A → 1 = B 2 ( − y , X ) y A → 2 = B ( 0 , X ) están relacionados por un gradiente de la función x = B 2 X y , A → 2 = A → 1 + ∇ x , lo que implica que para una función de onda dada ψ 2 calibre invariante traslacional a lo largo y , ψ 2 = norte Exp ⁡ ( i k y y − mi B 2 ℏ C ( X − ℏ C mi B k y ) 2 ) , corresponde a una función de onda ψ 1 en el otro calibre, ψ 1 = mi i mi x ψ 2 . Es fácil demostrar que

ψ 1 = norte ′ mi k y z − mi B 2 z 2 mi − mi B 4 z z ¯ ,
que se puede reescribir como
ψ 1 = F ( z ) mi − mi B 4 z z ¯ ,
y es de hecho una función de onda del estado fundamental en el calibre simétrico.

Hay que recordar que las funciones de onda dadas por el OP son solo dos elementos de dos bases (correspondientes a dos calibres) que pueden describir los estados masivamente degenerados de una partícula en un campo magnético.

Edit: Para aclarar un poco. Las dos funciones de onda en la pregunta del OP no describen el mismo estado físico. Para una dada norte o k y , todas son funciones de onda de estado fundamental válidas y forman una base para describir el estado fundamental degenerado masivamente. Pero cuando se cambia de calibre, generalmente no se mapea desde un estado básico de un calibre a un estado básico del nuevo calibre, sino que generalmente será una superposición, como se puede ver en el ejemplo anterior.

gracias por la vívida explicación. Ahora me queda claro que los dos wf están relacionados por una transformación de calibre. Sin embargo, ¿qué esperamos ver experimentalmente? Como acordó, los dos wf dan lugar a dos problemas diferentes. dist. ¿O vemos superposición de ambos?
@thihakyaw: experimentalmente, depende en qué estado prepare el sistema. Di que lo preparas de alguna manera en el estado ψ 2 . Entonces podrías decir equivalentemente que lo preparaste en el estado ψ 1 , ya que 1- no conoces el calibre ya que no es observable, 2- todas las propiedades de estos dos estados son las mismas. Sin embargo, por supuesto, un estado ψ 1 ′ (con su acompañante ψ 2 ′ ) será diferente y tendrá diferentes propiedades.
gracias de nuevo por la explicacion. Supongo que no tenemos control sobre qué estado preparar, excepto que podríamos enfriar el sistema a uno de sus muchos estados básicos degenerados. O, ¿realmente tenemos un control sobre qué estado comenzar? Perdón por mi pregunta persistente, soy nuevo en esto. gracias.
@thihakyaw: Podríamos imaginarnos midiendo la posición de la partícula en t = 0 . Entonces ψ ( X ) = d ( X − X 0 ) . Luego puede descomponer la función delta sobre la base de su elección (por ejemplo, la del indicador simétrico). Luego también puede cambiar el calibre y reescribirlo en términos de la base de los otros calibres. Todo es la misma física.
@thihakyaw: vea también mi edición, tal vez aclare un poco las cosas.
Ahora, veo por qué se prefieren los dos medidores invariantes traslacionales cuando la corriente Hall 2D está involucrada en los experimentos. Está claro ahora. Gracias, Adán.
Solo para seguir un poco. ¿Puedo pensar intuitivamente que "cambiar el calibre corresponde a cambiar el marco de referencia"? @Adán.
@thihakyaw: sí, en cierto sentido.

Consulte el artículo anterior de Swenson en American Journal of Physics (ampliando exactamente los temas anteriores) y una nueva resolución que aparecerá en un próximo artículo de G. Konstantinou y K. Moulopoulos.

Hacer referencia a los próximos artículos es de mal estilo: simplemente no responde a nada y parece que usted es uno de los autores (¿lo es? Las referencias a sí mismo están bien, pero debe decirlo). Además, su cita está más que incompleta (puedo encontrar cinco artículos que se ajustan a la descripción) y tenemos la política de que debe, al menos en pocas palabras, esbozar el contenido del artículo que da respuesta a la pregunta.
Sí, totalmente de acuerdo con Martín. ¿Podría usted, @user123823, especificar el documento antiguo de Swenson? DOI o url al papel? ¿Tiene también el enlace arXiv al artículo de G. Konstantinou et. Alabama.? Gracias.
¿Por qué diferentes potenciales vectoriales en el problema de los niveles de Landau conducen a diferentes funciones de onda del estado fundamental de la mecánica cuántica?
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