Interacción de electrones y fotones: conmutación de AA\mathbf{A} y pp\mathbf{p}

El indicador de Coulomb y el indicador de radiación son esencialmente lo mismo. El indicador de radiación generalmente está abierto a tener un potencial escalar distinto de cero.$\phi$, pero esto está restringido solo a los campos electrostáticos de cualquier partícula presente: en el caso típico, tendrá un montón de partículas cargadas (como, digamos, electrones y núcleos en una molécula) interactuando entre sí a través de sus interacciones electrostáticas habituales (más cualquier efecto relativista que necesite introducir), que luego se someten a un campo de radiación externo. Trabajar en el indicador de radiación significa que este campo de radiación externo se describe exclusivamente a través de un potencial de vector libre de divergencia.

El vector potencial$\mathbf A(\mathbf r,t)$y el impulso$\mathbf p$conmutan, en su producto interno, si y solo si el vector potencial está en este calibre - o, más específicamente, si y solo si obedece$\nabla \!\cdot\! \mathbf A(\mathbf r,t)=0$. Para ver esto, solo calcula:

$$\begin{align} \mathbf A(\mathbf r,t)\cdot\mathbf p -\mathbf p\cdot\mathbf A(\mathbf r,t) & =A_j(\mathbf r,t)p_j-p_jA_j(\mathbf r,t) \\ & = i\hbar \frac{\partial A_j}{\partial x_j}(\mathbf r,t) \\ & = i\hbar \nabla \!\cdot\! \mathbf A(\mathbf r,t). \end{align}$$ En general, el conmutador de $p_i$y $A_j(\mathbf r,t)$da una derivada distinta de cero del potencial, pero la contracción la reduce a la divergencia. Esto es, por supuesto, exacto y no se basa en la aproximación del dipolo.