¿Se puede usar el principio de incertidumbre de Heisenberg para probar que el electrón no puede existir en el núcleo de esta manera?

Es un error invocar la relatividad en la velocidad.$v$sin usar también el momento relativista$p$. Pero si este es un texto para estudiantes que pueden ser un poco débiles en relatividad, quizás sea un error pedagógicamente útil. La mayoría de los estudiantes llegan a una clase sabiendo que la velocidad de la luz es un "límite de velocidad", incluso si solo tienen una vaga idea de lo que sucede cuando un objeto se acerca a ese límite. Presentar todos los conceptos que necesita para presentar este argumento de manera consistente puede ser mucho esperar para el público objetivo de este texto.

A los físicos les gusta pensar en unidades de energía. Una versión correcta de este argumento podría ser reemplazar

con

(No necesitaremos preocuparnos por los factores de dos.) Sabemos experimentalmente que se puede quitar un electrón de un átomo con una energía de unos pocos eV. Sospechamos que el electrón se mantiene cerca del núcleo por atracción eléctrica, que está sujeta al teorema virial , por lo que su energía cinética$T$y su energía de enlace$U$tienen la misma magnitud,$T \approx -U$(despreciando un factor de dos). El principio de incertidumbre dice que cualquier partícula confinada a un núcleo,$\Delta x \lesssim 1\rm\,fm$, debe tener una incertidumbre de impulso$c\Delta p \gtrsim 200\rm\,MeV$. Para un electrón, masa$m_e c^2 \approx \frac12\rm\,MeV$, este momento es hiperrelativista y la energía cinética correspondiente es$T\approx E\approx pc$. Pero si el electrón estuviera ligado a un pozo de potencial con una profundidad de 200 MeV, no podrías ionizar un átomo con un fotón de escala eV. Algo tiene que dar.

Tenga en cuenta que si hacemos el mismo argumento para un nucleón atrapado en un núcleo, con masa$m_N c^2 \approx 1000\rm\,MeV$, en su mayoría podemos salirnos con la nuestra usando la energía cinética no relativista:

Las energías reales de separación de nucleones tienden a ser de alrededor de 10 MeV, por lo que si asumimos$T\approx |U|$esto no es una mala suposición en absoluto. Es razonable decir que el tamaño del núcleo está directamente relacionado con las energías involucradas en la interacción nuclear por el principio de incertidumbre. Y para el caso, el tamaño del átomo está directamente relacionado con la escala de energías de enlace de electrones:

Por supuesto, cuando encuentras una función de onda, no usas el principio de incertidumbre: usas la mecánica ondulatoria de la ecuación de Schrödinger. Pero el principio de incertidumbre es fundamentalmente una declaración sobre cómo se comportan las ondas matemáticamente, por lo que en un factor de dos el resultado está bien. Y si deja el terreno del factor de dos y calcula con cuidado, encontrará que las incertidumbres en la posición y el momento asociadas con una función de onda real son siempre mayores que el mínimo establecido por el principio de incertidumbre.

En cuanto a sus quejas específicas:

1. La incertidumbre no tiene relación con los valores reales.

Esto simplemente no es así. En lugar de un solo átomo, imagine un conjunto de 100 átomos, todos fijos en su lugar. Si los electrones no salen de sus átomos, sabemos que el impulso vectorial promedio de los electrones debe ser cero. El principio de incertidumbre describe incertidumbres de "una sigma", por lo que si mide los momentos electrónicos para sus 100 átomos, espera que alrededor de 32 de ellos tengan una magnitud de momento.$|p|$ más grande que$\Delta p$, y alrededor de 5 de ellos tienen una magnitud de momento$|p| > 2\Delta p$. (Hablamos más a menudo sobre los “intervalos de confianza” del 68 % y el 95 %). Si eligió un electrón al azar y adivinó la magnitud de su momento antes de medirlo,$\Delta p$es una conjetura mejor que cero.

2. Ahora, dividí el universo en pequeñas esferas, cada una de radio similar al núcleo. Aplicando el principio de incertidumbre de Heisenberg a cada una de estas esferas, el electrón no puede existir en ninguna de ellas.

Esto es en realidad una conclusión razonable. El siguiente paso no es el que das ("Por lo tanto, el electrón no existe"), sino una afirmación contraria a la intuición sobre el tamaño: los electrones fríos son grandes y no se pueden confinar. Si desea que un electrón esté confinado a un volumen pequeño, debe participar en alguna interacción de alto momento.

A menudo hablamos de un electrón como una "partícula puntual" con "tamaño cero". Decimos esto porque no parece haber ninguna otra interacción que se active cuando sondas un electrón en escalas de longitud corta. Una interacción de tan corto alcance sería una señal de que el electrón tiene alguna subestructura. (Por ejemplo, la interacción nuclear cambia de carácter a distancias más cercanas que un femtómetro, lo que está relacionado indirectamente con la composición de los nucleones a partir de los quarks). En la interpretación de Copenhague, y su hija bastarda, la teoría de la onda piloto, imaginamos que hay una “electrón real” puntual que podemos ubicar en algún lugar. Pero como ha descubierto, eso es incompatible con el principio de incertidumbre. Hay muchas situaciones en las que el modelo mental de que "los electrones fríos son grandes" es útil.

Una consecuencia física de "los electrones fríos son grandes" ocurre en las estrellas enanas blancas, que se ven retenidas por la degeneración de los electrones. A medida que calienta la estrella, la incertidumbre sobre los momentos de los electrones$\Delta p$se vuelve más grande (porque cada electrón almacena más energía en promedio). La incertidumbre adicional en$\Delta p$permite el volumen$(\Delta x)^3$asociado con cada electrón para encogerse. Las enanas blancas se hacen más pequeñas a medida que las calientas, porque los electrones fríos son grandes.

Cuando digo que el error en su libro de texto citado podría ser pedagógicamente útil, lo que quiero decir es que el argumento del libro de texto cabe en cinco oraciones y cuatro líneas de matemáticas. Mi respuesta más correcta es sustancialmente más larga y se acorta con muchas matemáticas "no prestes atención al hombre detrás de la cortina", que es fácilmente justificable pero haría que un estudiante de introducción se sintiera incómodo.

La solución dada aquí es incorrecta. Utiliza la expresión no relativista para el momento y luego compara la velocidad con la velocidad de la luz, que es el límite de velocidad de la mecánica relativista. Si usamos consistentemente la expresión relativista para cantidad de movimiento,

el valor de la velocidad será mucho menor, y menor que$c$, lo que no conduce a ninguna contradicción con la suposición.

El principio de incertidumbre se refiere a que x y p son pares de Fourier. Es decir, la desviación estándar (vagamente llamada incertidumbre) de la posición de la función de onda multiplicada por la desviación estándar del momento de la función de onda debe ser mayor o igual que hbar/2. Si la totalidad de la función de onda se comprime al tamaño del núcleo, la desviación estándar mínima correspondiente en el momento es tan grande que la fuerza de atracción del núcleo ya no puede retener al electrón y el electrón escaparía muy rápidamente al vacío (esencialmente , hay tantos estados de momento incluidos en la función de onda del electrón que son de mayor energía que la fuerza de atracción que el electrón simplemente sale volando). El estado ligado del electrón que tiene la energía más baja (es decir,

Esta respuesta es complementaria a las otras: siento que la frase "no puede existir dentro del núcleo" está mal elegida, da una impresión inconsistente con el cálculo con el que está emparejada, y esto puede ser una fuente importante de confusión para el interrogador.

El cálculo que se muestra (después de las correcciones descritas en las otras respuestas) demuestra que un electrón no puede estar confinado dentro de una esfera del tamaño de un núcleo. Es decir, no puede estar en un estado en el que su posición nunca esté fuera de esa esfera.

Pero el significado en inglés simple de "no puede existir dentro" es diferente: " nunca puede estar dentro". El cálculo que se muestra no demuestra tal cosa y, de hecho, no es cierto. Si pensamos en términos de los "electrones puntuales reales" a los que la respuesta de Rob se opone: los electrones atómicos a veces están dentro de su núcleo asociado. Si en cambio preferimos el modelo mental "los electrones fríos son grandes", los electrones atómicos ocupan volúmenes de espacio que se superponen al núcleo. (En términos de las matemáticas reales, las funciones de onda de los electrones atómicos tienen una amplitud$> \epsilon$para el espacio tanto dentro como fuera del núcleo. Si no recuerdo mal, para la energía más baja$s$orbitales, la amplitud por unidad de volumen es mayor dentro del núcleo, aunque la mayor probabilidad general se encuentra a una distancia comparable al radio de Bohr).

Los electrones atómicos que están dentro de sus núcleos asociados "a veces", tienen consecuencias físicas observables reales: la captura de electrones no podría ocurrir de otra manera.

Me parece una forma extraña de hacerlo.

Es conceptualmente más fácil si hacemos$\Delta x$el tema y discutir, si es mayor que$10^{-15}m$que el electrón no puede estar contenido en el núcleo.

Como no sabemos nada acerca de la velocidad del electrón si estuviera en un núcleo,$\Delta v$se puede poner al valor máximo de$3\times 10^8$donación$\Delta x = 2 \times 10^{-13}m$, por lo que no puede estar contenido en el núcleo.

Si$\Delta v$eran más bajos,$\Delta x$se vuelve más alto.

La incertidumbre no tiene relación con los valores reales. Es un grado de medir cuán equivocados estamos en lugar de qué valor incorrecto obtenemos.

Well, I suppose this depends a bit on what quantum interpretation you're using (there may be some truth to this in, say, the pilot wave interpretation), but in the Copenhagen interpretation, this is definitely not true; a measurement of the velocity is a random variable, and the uncertainty refers to the standard deviation of that random variable.

The Δv term should have nothing to do with the actual velocity and hence I believe this is wrong.

In the Copenhagen interpretation, there is no fixed velocity. The velocity is spread out over a range of values, and $\Delta v$ is a measurement of how spread out those values are.

Applying the Heisenberg's uncertainty principle to each such sphere, the electron can't exist at any of these. Hence, the electron doesn't exist.

La función de onda del electrón no puede estar completamente contenida dentro de ninguna de estas esferas. Eso no significa que no exista. La redacción en el libro es engañosa, además de que sus matemáticas son incorrectas, pero la idea básica es cierta: para la mayor parte de la masa de probabilidad del electrón está contenida en una esfera de radio$10^{-15}$m, su velocidad tendría que extenderse en un intervalo que incluye la velocidad de escape del núcleo, por lo que este no es un estado estable.

In the full calculation, the size of the electron cloud around the nucleus is determined by solving Schrödinger's equation, the solution of which is simply much larger than the nucleus. Classically you'd expect that it'd be possible for the electron to simply "stick" to the nucleus. The given text example is an attempt to give some intuition to the quantum result by approaching it from a different angle, showing that the attraction of the Coulomb force must in some sense fight against the kinetic energy of a confined electron implicit in the Heisenberg uncertainty principle.

Creo que el texto comete un ligero error pedagógico al centrarse demasiado en la velocidad de la luz, que no es realmente el punto, y está dando lugar a algunas acusaciones de que el texto está totalmente equivocado. El punto principal de este cálculo común es que en la mecánica cuántica, debido al principio de incertidumbre, una partícula que está especialmente confinada posicionalmente debe tener una alta energía cinética.

El problema podría haber ido un paso más allá y calcular la energía correspondiente a esta velocidad, pero para los que tienen más experiencia, en cuanto hagan este cálculo y vean$v\gg c$te das cuenta de que tal electrón debe ser muy relativista y tener una energía enorme que es mucho, mucho mayor que la energía potencial de atracción, y por lo tanto es inmediatamente inverosímil. Sospecho que este es el proceso de pensamiento del autor.

Sin embargo, para responder directamente,

(1) Esto es básicamente incorrecto. Te animo a que veas cómo$\Delta x$y$\Delta p$se calculan dada la función de onda real, en términos de valores esperados. El principio te dice mucho acerca de los posibles valores reales de$x$y$p$.

(2) Esto es correcto hasta el último paso. Según este argumento, un electrón no relativista no podría existir en ninguna esfera del tamaño de un núcleo en el universo, pero puede existir repartido entre muchas, lo que le da una cantidad mucho mayor.$\Delta x$