¿Cómo interpreto la incertidumbre en la velocidad mayor que la velocidad de la luz?

La fórmula correcta es

$$\Delta X \Delta P \geq h/4\pi$$ dónde$P$es el impulso que es aproximadamente$mv$solo para pequeñas velocidades$v$cuando se compara con$c$. De lo contrario, tienes que usar la expresión relativista. $$P = mv/ \sqrt{1-v^2/c^2}.$$ Si$\Delta X$es pequeño entonces$\Delta P$es grande pero, de acuerdo con la fórmula anterior, la velocidad sigue siendo del orden de$c$a lo sumo. Eso es porque, en la fórmula anterior,$P\to +\infty$corresponde a$v\to c$.

Con algunos detalles, resolviendo la identidad anterior para$v$, tenemos

$$v = \frac{P}{m \sqrt{1+ P^2/m^2c^2}}\:,$$ de modo que $$v\pm \Delta v = \frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P\pm \Delta P)^2/m^2c^2}}.$$ Hemos obtenido la expresión exacta de$\Delta v$: $$\pm \Delta v = \frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P\pm \Delta P)^2/m^2c^2}} - \frac{P}{m \sqrt{1+ P^2/m^2c^2}},$$ dónde $$\Delta P = \frac{\hbar}{2\Delta X}\:.$$ Esta es una expresión complicada pero es fácil ver que la velocidad final no puede exceder$c$en cualquier caso. Por un valor fijo de$P$y$\Delta X \to 0$, tenemos $$v\pm \Delta v = \lim_{\Delta P \to + \infty}\frac{P\pm \Delta P}{m \sqrt{1+ (P \pm \Delta P)^2/m^2c^2}}= \pm c\:.\tag{1}$$

Finalmente, no es difícil ver que (usando el gráfico de la función tangente hiperbólica)

$$-1 \leq \frac{(P\pm \Delta P)/mc}{ \sqrt{1+ (P \pm \Delta P)^2/m^2c^2}}\leq 1\tag{2}\:.$$ Por lo tanto, concluimos que $$-c \leq v\pm \Delta v \leq c,$$ donde los valores límite se alcanzan sólo para$\Delta X \to 0$según (1). La relatividad es segura...

Lo que has descubierto es que la mecánica cuántica "normal" es incompatible con la relatividad. Como señaló Valter Moretti, el uso de una expresión relativista para el momento resuelve este problema. Sin embargo, hay más problemas que no pueden resolverse simplemente usando la expresión relativista para la energía y el momento. Por ejemplo,

• La ecuación relativista$E=mc^2$implica que es posible que la energía se convierta en nuevas partículas. El principio de incertidumbre tiempo-energía$\left(\Delta E\cdot\Delta t\geq\hbar/2\right)$implica que es posible que se creen partículas de la nada, incluso cuando, desde un punto de vista clásico, no hay suficiente energía presente.
• Incluso cuando la mecánica cuántica de una sola partícula se modifica para usar un hamiltoniano relativista, como en la ecuación de Klein-Gordon, siempre hay una probabilidad distinta de cero de que una partícula pueda teletransportarse a través de un intervalo similar al espacio (más rápido que la velocidad de la luz) .

Estos problemas se resuelven con la introducción de la Teoría Cuántica de Campos. Básicamente, en lugar de cuantificar partículas individuales, cuantificamos campos. Las partículas son excitaciones de los campos, y pueden aparecer nuevas partículas de la nada. Las teorías cuánticas de campos están diseñadas para preservar la causalidad para que funcionen bien con la relatividad. Las matemáticas son muy complicadas, pero esa es la idea básica.

Hay dos problemas con esta configuración. El primero está aquí:

Supongamos un electrón que se mueve muy lentamente

Si ya sabe que el electrón se mueve muy lentamente, entonces ya tiene una pequeña incertidumbre en cuanto al momento. Por ejemplo, si sabes que el electrón se mueve a menos de$1 \text{ m/s}$entonces$\Delta v = 0.29 \text{ m/s}$entonces ya tenemos$\Delta p = 2.6 \ 10^{-31}\text{ kg m/s}$. Por$\Delta x \ \Delta p \ge \hbar/2$entonces$\Delta x \ge 0.0002\text{ m}$por lo que la incertidumbre de distancia mencionada en la configuración no es posible.

Por supuesto, tal vez quiso decir algo diferente con "moverse muy lentamente", pero si analiza los números, entonces$\Delta x = 10^{-13}\text{ m}$da una incertidumbre de la velocidad$\Delta v \ge 0.88 \ c$lo que sería difícil de justificar como "muy lentamente" independientemente.

EDITAR: según el comentario a continuación, "muy lentamente" se refiere a una velocidad no relativista. Si insistimos en$\gamma < 1.01$entonces eso corresponde a$v < 4.2 \ 10^7 \text{ m/s}$. Esto es$\Delta v < 1.2 \ 10^7 \text{ m/s}$o un máximo de$\Delta p = 1.1 \ 10^{-23} \text{ kg m/s}$. Entonces, por el principio de incertidumbre de Heisenberg, la incertidumbre mínima en la posición es$\Delta x > \hbar/(2\Delta p) = 4.8 \ 10^{-12}\text{ m}$

El segundo problema es

usando la fórmula

$$\Delta x. \Delta v\ge \frac{h}{4\pi m}$$

La expresión correcta es$\Delta p \Delta x\ge \hbar/2$. Esto es importante porque$p=mv$es sólo una aproximación no relativista. en relatividad$p=mv/\sqrt{1-v^2/c^2}$que es ilimitado como$v$enfoques$c$. Con esta fórmula correcta$\Delta x = 10^{-13}\text{ m}$da como resultado$\Delta p = 5.3 \ 10^{-22} \text{ kg m/s}$. Como se indicó anteriormente, para un electrón esto corresponde a una incertidumbre de velocidad de$\Delta v = 0.88 \ c$que es bastante grande, pero no excede$c$.

Entonces, cuando te conviertes en físico de partículas (o nuclear), una de las primeras cosas que debes memorizar es que:

$$\hbar c \approx 200\,{\rm MeV\cdot fm}$$

donde "fm" es un fermi ($10^{-15}\,$m), que es la escala de un nucleón.

Por lo tanto, si la incertidumbre de su posición es de 100 fm, puede estimar inmediatamente una incertidumbre de momento de 1 MeV/c.

Como también has memorizado$m_e=0.511\,$MeV/c$^2$, eso significa que la incertidumbre de la velocidad (que no es realmente un problema en la física de partículas, nunca surge) corresponde a un factor de Lorentz de:

$$\gamma = \frac{E}{m_e} \approx \frac p {m_e} \approx 2,$$

y todos hemos hecho suficientes problemas de relatividad para saber que esto corresponde a una velocidad:

$$\beta = \frac v c = \frac{\sqrt 3} 2 \approx 0.866$$

que está lo suficientemente cerca de la respuesta de @Dale.

Supongamos un electrón que se mueve muy lentamente y lo observamos con una incertidumbre de distancia de, por ejemplo, Δx=1×10−13 m

En QM, las partículas no tienen velocidades en el sentido normal de la palabra. La velocidad es un observable y, por lo tanto, se representa mediante un operador aplicado a un estado cuántico. Hablar de la "velocidad" de una partícula implica que la partícula tiene una velocidad definida (es decir, está en un estado propio del operador de velocidad) o, como mínimo, su estado tiene una pequeña dispersión en el espacio de velocidad. Como usted calculó, un electrón con un tamaño tan pequeño$\Delta x$tendría una enorme$\Delta p$que no se puede decir que tenga nada cercano a una velocidad bien definida.

Si un electrón se mueve cerca de$c$, entonces atravesará$10^{-13}m$en ~$3*10^{-22}$segundos. De acuerdo con una búsqueda rápida en la web que realicé, la precisión de tiempo más alta jamás registrada es$10^{-21}s$. https://www.smithsonianmag.com/smart-news/physicists-record-smallest-slice-time-yet-180961085/ Por lo tanto, no es posible medir un electrón durante un período de tiempo lo suficientemente corto como para que esté confinado dentro de una región de$10^{-13}m$.

Eso no quiere decir que no sea legítimo preguntar sobre un escenario puramente hipotético, completamente inmedible, en el que durante un período de menos de un zeptosegundo, un electrón tiene$\Delta x = 10^{-13}m$. Solo pensé que debería señalarse que esta es una situación físicamente poco realista.

En cuanto a esto aparentemente resultando en$\Delta v > c$, como dice Valter Moretti, su cálculo se basa en$p = mv$, y si$m$se toma como la masa en reposo$m_0$, entonces esto es válido solo para pequeños$v$(relativo a$c$). Sin embargo, no creo que los cálculos posteriores de Valter Moretti sean válidos. El$\Delta p$en la incertidumbre no está el rango de$p$, aunque esta interpretación es una aproximación lo suficientemente buena como para ser una buena intuición cuando se está introduciendo el principio. Bastante,$\Delta p$es la desviación estándar de$p$:$\sqrt {<\phi^* |p \phi>^2-<\phi^* |p^2 \phi>}$. Desde$p$es una función no lineal de$v$, no podemos calcular un valor exacto de$\Delta v$en términos de$\Delta p$sin saber exactamente$\phi$.