¿Por qué no se pueden encontrar electrones dentro del núcleo si hay un número infinito de orbitales?

Supongamos que el electrón que estamos considerando está en un orbital descrito por la función de onda$\psi$. Si buscamos en algún elemento de pequeño volumen$dV$entonces la probabilidad de encontrar el electrón en ese elemento de volumen es:

$$P = \psi^*\psi \, dV$$

Para calcular la probabilidad de encontrar el electrón dentro del núcleo usaremos coordenadas polares, y como nuestro elemento de volumen$dV$tomaremos el volumen de una capa esférica de radio$r$y ancho$dr$. El volumen de este elemento es:

$$dV = 4\pi r^2 dr$$

entonces la probabilidad es:

$$P = \psi^*\psi \, 4\pi r^2 dr$$

Si el radio del núcleo es$R$, entonces obtenemos la probabilidad de encontrar el electrón en el núcleo simplemente integrando de$r = 0$a$r = R$:

$$P = \int_0^R \psi^*\psi \, 4\pi r^2 dr$$

Y esta integral generalmente tiene una magnitud distinta de cero, es decir, la probabilidad de encontrar el electrón dentro del núcleo es distinta de cero.

Sabemos que el electrón tiene una probabilidad distinta de cero de estar dentro del núcleo porque en algunos casos puede reaccionar con un protón en un proceso llamado captura de electrones o decaimiento beta inverso.