¿Resultados diferentes para el Período Orbital?

Estoy haciendo un sistema solar hipotético con masas y distancias aleatorias (pero aún física y matemáticamente preciso). Quiero calcular la trayectoria de una nave espacial y, para hacerlo, necesito saber el período orbital. Quiero saber cuál es el período orbital para la mitad de la órbita elíptica. Del perigeo al apogeo.

Según la Tercera Ley de Kepler,

T = 2 π a 3 m

Dónde T es igual al Período Orbital, a es el semieje mayor y m es el GM del Sol.

En este caso imaginario del sistema solar, m = 2.4 × 10 20 y a = 2.0 × 10 11 metros Esto da un período de 36.275.987,3 segundos. Lo que da un período orbital de 18.137.993 segundos para la mitad de la órbita.

Sin embargo, de acuerdo con esta respuesta de Physics Stack Exchange sobre cómo encontrar el tiempo de tránsito para una parte específica de una órbita, da la fórmula:

τ = T 2 π ( mi 1 − mi 2 − mi ( pecado ⁡ mi 1 − pecado ⁡ mi 2 ) )
Dónde τ es el tiempo de tránsito, mi excentricidad (0,44). Finalmente, mi 1 & mi 2 es la anomalía excéntrica de dos puntos. Como quiero encontrar la porción desde el perigeo hasta el apogeo, mi anomalía excéntrica es 0 y 180 grados respectivamente. Confirmé estos dos ángulos con esta fórmula de esta fuente :
porque ⁡ mi = porque ⁡ v + mi 1 + mi porque ⁡ v
Dónde v = anomalía verdadera, y mi = excentricidad (en este caso mi = 0.44 ). La verdadera anomalía es 0 grados en el perigeo y 180 grados en el apogeo.

Aquí está la ecuación al sustituir los valores (valor de mi realmente no importa porque pecado ⁡ 0 o y pecado ⁡ 180 o = 0):

τ = 36275987.3 2 π ( 0 o − 180 o − 0.44 ( pecado ⁡ 0 o − pecado ⁡ 180 o ) )
Esta fórmula da el resultado − 1 , 039 , 230 , 849 segundos (supongo que una pequeña pregunta secundaria: ¿Por qué y debería ser negativo?).

Pregunta: ¿Por qué obtengo dos resultados diferentes para la misma porción de la órbita? perigeo a apogeo? Usando la primera fórmula, obtuve 18 , 173 , 993 segundos (alrededor de 6 meses), pero para la segunda ecuación, obtuve 1 , 039 , 230 , 849 segundos (¡unos 33 años!). A juzgar por los resultados, lo primero me parece correcto, 6 meses. ¿Qué estoy haciendo mal con la segunda ecuación?

Respuestas (1)

Algunas cosas vienen a la mente:

1) donde pones en el radio 8.76 × 10 10 Creo que te refieres a la excentricidad, que para la órbita de la Tierra es de aproximadamente 0.0167 . Poner un parámetro de distancia allí hace que la ecuación sea dimensionalmente inconsistente.

2) No olvides convertir tus ángulos a radianes.

3) Para lidiar con el signo: Mida el ángulo desde el perigeo/perihelio inicial, y no lo restablezca a cero con cada perigeo/perihelio subsiguiente. No se restablece porque el ángulo es en realidad la cantidad total de ángulo atravesado desde el perihelio inicial, incluido 2 π radianes por cada revolución completada desde entonces. Para la segunda mitad de la primera órbita desde cero, va desde π a 2 π .

Entonces debería funcionar.

Lo haría para otras partes de la órbita. Vea mi edición, también necesitamos verificar la consistencia dimensional. Es por eso mi me aparece como una cantidad adimensional, que la excentricidad (comúnmente escrita mi ) es.
Entonces, ¿cómo funciona la conversión de unidades angulares? Ahí es donde está el dinero para el período de media órbita.
¡Sí, entendí! Muchas gracias. En lugar de 0 o − 180 o , debe estar en radianes. Entonces, 0 r a d − π Aceptaré esta respuesta, pero ¿puede aclarar el punto 3? Todavía obtengo un valor negativo. Supongo que puedo hacer el perigeo mi 2 , pero seguramente hay una respuesta matemática adecuada de por qué es negativo.
"el ángulo es en realidad la cantidad total de ángulo atravesado desde el perihelio inicial, incluidos 2π radianes por cada revolución completada desde entonces". Aunque la "longitud" se restablece, la cantidad total de ángulo no lo hace y ese ángulo total es lo que pones en la fórmula. Por supuesto, eso no hace ninguna diferencia en los términos en los que el ángulo está bajo un seno o un coseno.
Bueno. Entiendo cómo se supone que no debes restablecer el ángulo después de que completa una órbita. Pero mi nave espacial no está completando una órbita. Sólo la mitad de ella. Dado que mi nave espacial va de perigeo a apogeo, nombré mi 1 como perigeo (el primer punto) y mi 2 como apogeo (el segundo punto). ¿Debería haber sido al revés? Sigue siendo un valor negativo. ¿Importan los negativos en este caso?
Sus fórmulas se basan en el tiempo cero en el perihelio. El afelio debe ser π radianes desde el principio (o π radianes más cierto número de revoluciones), y la segunda mitad que va al siguiente perihelio es el siguiente \pi$ radianes adicionales.
Oh. Bueno. Entonces debería ser: 2 π − π . Calculo como si ya hubiera pasado una órbita, entonces el apogeo es π y el perigeo es 2 π . Gracias.
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