Derivación de los cambios en los Elementos Keplerianos inducidos por pequeños impulsos

Question

Derivación de los cambios en los Elementos Keplerianos inducidos por pequeños impulsos

UH oh

Estoy tratando de derivar ~~una~~ tabla concisa de los efectos en cada elemento orbital Kepleriano para un pequeño impulso en la dirección Radial, Tangencial o Perpendicular en periapsis o apoapsis, bueno al menos en segundo orden en $\delta v/v_0$ .

Puede pensar en esto como hacer las matemáticas a mano para la pregunta "¿ Qué órbita obtendrá este cubesat si lo tiro fuera de la ISS hacia arriba, hacia adelante o hacia los lados a 7,7 m/seg? "

Para una órbita circular con inclinación cero:

v_{R}, v_{T}, v_{PAG} = 0, v_{0}, 0

$v_R, \ v_T, \ v_P \ = \ 0, \ v_0, \ 0$

r (t) = a

$r(t) \ = \ a$

He deducido las siguientes conjeturas empíricas del procesamiento de números: integrando las ODE para obtener órbitas perturbadas y luego extrayendo los elementos orbitales:

\frac{d a}{a} \sim {(\frac{d v_{R}}{v_{0}})}^{2} + 2 \frac{d v_{T}}{v_{0}} + {(\frac{d v_{PAG}}{v_{0}})}^{2}

$\frac{\delta a}{a} \sim \left( \frac{\delta v_R}{v_0}\right)^2 + 2 \frac{\delta v_T}{v_0} + \left( \frac{\delta v_P}{v_0}\right)^2$

d ϵ \sim \frac{d v_{R}}{v_{0}} + 2 \frac{d v_{R}}{v_{0}} + {(\frac{d v_{PAG}}{v_{0}})}^{2}

$\delta \epsilon \sim \frac{\delta v_R}{v_0} + 2 \frac{\delta v_R}{v_0} + \left( \frac{\delta v_P}{v_0}\right)^2$

d i \sim \frac{d v_{PAG}}{v_{0}}

$\delta i \sim \frac{\delta v_P}{v_0}$

dónde $a$ , $\epsilon$ , y $i$ son el semieje mayor, la excentricidad y la inclinación, respectivamente.

Puedo ejecutar un montón de casos que incluyen órbitas elípticas de excentricidad variable y usar las mismas conjeturas empíricas para hacer un conjunto completo de coeficientes, incluida su dependencia de excentricidad, pero me siento mal porque siempre trato de hacer los cálculos primero si es posible.

Pero estoy perplejo de cómo comenzar esas derivaciones. Idealmente, la respuesta daría un ejemplo de cómo hacer estas expansiones de perturbación de impulso con papel y lápiz, junto con sugerencias sobre cómo hacer el resto. Un enlace a los resultados finales sería útil, pero lo que más necesito es una discusión sobre cómo hacer la estrategia para hacer la expansión .

Para repetir: estoy restringiendo el problema a una órbita elíptica con inclinación inicial cero, pequeños impulsos, solo en periapsis o apoapsis, solo en las direcciones radial, tangencial o perpendicular.

Mármol Orgánico

Cuando desee verificar su trabajo, hay algunos números en mi respuesta a esta pregunta: space.stackexchange.com/questions/12011/…

UH oh

@OrganicMarble Acabo de agregar el segundo párrafo (una oración). Un montón de golosinas en tu enlace, ¡gracias! En realidad , esta respuesta también tiene algunas matemáticas útiles.

Innovino

¿Puedo preguntar por qué estás haciendo esta cosa curiosa?

UH oh

@Innovine Antes de hacer simulaciones numéricas, siempre trato de hacer el lado analítico en la medida de lo posible desde los primeros principios. Ayuda a apreciar mejor la simulación y ayuda como un control de cordura independiente en al menos partes del cálculo. También encuentro fascinantes las "matemáticas históricas". Los cálculos de perturbación de la órbita se realizaron cuando los bolígrafos eran plumas y las lámparas quemaban aceite. Tengo curiosidad por saber por qué llamarías "cosa curiosa" a tratar de controlar las perturbaciones.

russell borogove

Este tipo de derivación definitivamente no es lo mío, así que solo mencionaré una cosa quizás obvia: por aproximación de ángulo pequeño, la verdadera solución podría tener algunos términos sin() de los que carecen sus derivaciones empíricas.

CrisR

@uhoh, ¡estoy totalmente de acuerdo aquí! Con demasiada frecuencia confiamos en simulaciones y no nos damos cuenta cuando hemos establecido condiciones iniciales incorrectas, o cuando la simulación falla, simplemente porque confiamos ciegamente en ella. En otra nota, no tendrá el conjunto completo de elementos orbitales keplerianos habituales para lo que está buscando si está considerando una órbita ecuatorial. Esto conduce a una RAAN indefinida y al argumento de que la periapsis es la suma de la RAAN precalculada y el argumento de la periapsis. Es posible que desee verificar los OE equinocciales que no van en singular.

UH oh

@ChrisR Aprendí una nueva palabra: "equinoccial". Me gusta hurgar y tener una idea de cómo se comportan las matemáticas y la escala general, para poder dar sentido y verificar la cordura de los cálculos numéricos, por lo que no aplicaré estos resultados. directamente.

Respuestas (2)

Derivación de los cambios en los Elementos Keplerianos inducidos por pequeños impulsos

Cuando desee verificar su trabajo, hay algunos números en mi respuesta a esta pregunta: space.stackexchange.com/questions/12011/…
@OrganicMarble Acabo de agregar el segundo párrafo (una oración). Un montón de golosinas en tu enlace, ¡gracias! En realidad , esta respuesta también tiene algunas matemáticas útiles.
¿Puedo preguntar por qué estás haciendo esta cosa curiosa?
@Innovine Antes de hacer simulaciones numéricas, siempre trato de hacer el lado analítico en la medida de lo posible desde los primeros principios. Ayuda a apreciar mejor la simulación y ayuda como un control de cordura independiente en al menos partes del cálculo. También encuentro fascinantes las "matemáticas históricas". Los cálculos de perturbación de la órbita se realizaron cuando los bolígrafos eran plumas y las lámparas quemaban aceite. Tengo curiosidad por saber por qué llamarías "cosa curiosa" a tratar de controlar las perturbaciones.
Este tipo de derivación definitivamente no es lo mío, así que solo mencionaré una cosa quizás obvia: por aproximación de ángulo pequeño, la verdadera solución podría tener algunos términos sin() de los que carecen sus derivaciones empíricas.
@uhoh, ¡estoy totalmente de acuerdo aquí! Con demasiada frecuencia confiamos en simulaciones y no nos damos cuenta cuando hemos establecido condiciones iniciales incorrectas, o cuando la simulación falla, simplemente porque confiamos ciegamente en ella. En otra nota, no tendrá el conjunto completo de elementos orbitales keplerianos habituales para lo que está buscando si está considerando una órbita ecuatorial. Esto conduce a una RAAN indefinida y al argumento de que la periapsis es la suma de la RAAN precalculada y el argumento de la periapsis. Es posible que desee verificar los OE equinocciales que no van en singular.
@ChrisR Aprendí una nueva palabra: "equinoccial". Me gusta hurgar y tener una idea de cómo se comportan las matemáticas y la escala general, para poder dar sentido y verificar la cordura de los cálculos numéricos, por lo que no aplicaré estos resultados. directamente.

Tristán · Answer 1

Si asumimos un problema de dos cuerpos perfectos, ausencia de perturbaciones de cuerpos externos o fuentes de gravedad no esféricas ( es decir , órbitas cónicas perfectas sin precesión ni variación), sus restricciones con respecto a la inclinación son en realidad innecesarias, como podemos, sin pérdida de generalidad , examine este problema en un marco de referencia perifocal .

Coordenadas perifocales

Sea el origen del sistema el foco de la órbita y los vectores unitarios ortogonales $\mathbf{\hat{p}}$ y $\mathbf{\hat{q}}$ se encuentran en el plano orbital, de modo que el periápside de la órbita se encuentra en una línea que se extiende desde el origen en el $\mathbf{\hat{p}}$ dirección. El vector unitario $\mathbf{\hat{w}} = \mathbf{\hat{p}} \times \mathbf{\hat{q}}$ completa el sistema de coordenadas. (El vector de momento angular orbital se encuentra en el $\mathbf{\hat{w}}$ dirección).

Si nos restringimos aún más a mirar solo el periapsis y, siempre que $e < 1$ -- apoapsis, nuestro vector de posición está estrictamente en el $\pm \mathbf{\hat{p}}$ dirección, y nuestro vector de velocidad está estrictamente en la $\pm \mathbf{\hat{q}}$ dirección.

Elementos keplerianos en relación con coordenadas perifocales

Los elementos keplerianos $i$ (inclinación), $\Omega$ (argumento del nodo ascendente), y $\omega$ (argumento de periapsis) son simplemente ángulos de Euler utilizados para traducir entre un sistema de coordenadas perifocal y un sistema de coordenadas ecuatoriales. Al centrarnos en un sistema de coordenadas perifocales, podemos prescindir temporalmente de estos, dejando solo $e$ (excentricidad), $a$ (semi-eje mayor), y $\nu$ (verdadera anomalía).

Con eso establecido, necesitamos desarrollar dos términos escalares más que permanezcan constantes en una órbita no perturbada (nota: $\mu$ es el parámetro gravitacional del cuerpo central):

Energía específica: $ε = \frac{v^{2}}{2} - \frac{m}{‖ r ‖}$ $\varepsilon = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{\|\mathbf{r}\|}$
Momento angular específico: $h = ‖ r \times v ‖$ $h = \|\mathbf{r} \times \mathbf{v}\|$

Para facilitar las próximas derivaciones, las ampliaremos en términos de componentes (incluidos los que se sabe que son cero):

ε = \frac{v_{pag}^{2} + v_{q}^{2} + v_{w}^{2}}{2} - \frac{m}{\sqrt{r_{pag}^{2} + r_{q}^{2} + r_{w}^{2}}}

$\varepsilon = \frac{v^2_p + v^2_q + v^2_w}{2} - \frac{\mu}{\sqrt{r^2_p + r^2_q + r^2_w}}$

h = \sqrt{(r_{q} v_{w} - r_{w} v_{q})^{2} + (r_{w} v_{pag} - r_{pag} v_{w})^{2} + (r_{pag} v_{q} - r_{q} v_{pag})^{2}}

$h = \sqrt{(r_q v_w - r_w v_q)^2 + (r_w v_p - r_p v_w)^2 + (r_p v_q - r_q v_p)^2}$

Ahora notamos que

a = - \frac{m}{2 ε}

$a = -\frac{\mu}{2\varepsilon}$ y

mi = \sqrt{1 + \frac{2 ε h^{2}}{m^{2}}}

$e = \sqrt{1 + \frac{2 \varepsilon h^2}{\mu^2}}$

Finalmente, a tu pregunta.

Para enmarcar esto explícitamente, está buscando cómo los elementos se ven afectados por las perturbaciones de velocidad. Esto significa que queremos algunas expresiones para estos en función de la velocidad, siendo constantes todos los demás términos (en particular, la posición).

En general, desea lograr esto a través de una expansión de Taylor multivariada.

Dejar $Q : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ sea una función arbitraria continua de valor real y al menos dos veces diferenciable (ya que desea una precisión de segundo orden) de sus argumentos. Entonces, con una precisión de segundo orden, tienes

q (X) = q (a) + [(X - a) \cdot \nabla q (a)] + \frac{1}{2} [(X - a) \cdot H (a) \cdot (X - a)] + ϵ (‖ X - a ‖^{3})

$Q(\mathbf{x}) = Q(\mathbf{a}) + \Big[(\mathbf{x}-\mathbf{a}) \cdot \mathbf{\nabla}Q(\mathbf{a})\Big] + \frac{1}{2}\Big[(\mathbf{x}-\mathbf{a}) \cdot \mathbf{H}(\mathbf{a}) \cdot (\mathbf{x}-\mathbf{a})\Big] + \epsilon(\|\mathbf{x}-\mathbf{a}\|^3)$ dónde

\nabla Q

$\mathbf{\nabla}Q$ es el gradiente de

Q

$Q$ , es decir ,

\nabla Q = [Q_{1} Q_{2} Q_{3}]^{T}

$\mathbf{\nabla}Q = [Q_1 \; Q_2 \; Q_3]^T$ , (usando números subíndices para denotar una diferenciación parcial con respecto a ese argumento), y

H

$\mathbf{H}$ es la matriz hessiana:

H = [\begin{matrix} q_{11} & q_{12} & q_{13} \\ q_{21} & q_{22} & q_{23} \\ q_{31} & q_{32} & q_{33} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix}Q_{11} & Q_{12} & Q_{13}\\ Q_{21} & Q_{22} & Q_{23}\\ Q_{31} & Q_{32} & Q_{33} \end{bmatrix}$

Escribir esto explícitamente se vuelve engorroso rápidamente y no sería fácil de leer, especialmente porque implicará múltiples invocaciones de la regla de la cadena en órdenes superiores en múltiples dimensiones.

En cambio, demostraremos un caso específico: el semieje mayor (uno de los elementos más simples de calcular), $a$ , solo con precisión de primer orden.

Deja un prefijo $\delta$ denotan una perturbación infinitesimal de una cantidad.

ahora tenemos,

d a = \frac{\partial a}{\partial ε} (\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}} d v_{pag} + \frac{\partial ε}{\partial v_{q}} d v_{q} + \frac{\partial ε}{\partial v_{w}} d v_{w}) + ϵ (‖ d v ‖^{2})

$\delta a = \frac{\partial a}{\partial \varepsilon}\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\delta v_p + \frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\delta v_q + \frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w} \delta v_w\right) + \epsilon(\|\delta \mathbf{v}\|^2)$ Ampliando esto, tenemos

d a = \frac{m}{2 ε^{2}} (v_{pag} d v_{pag} + v_{q} d v_{q} + v_{w} d v_{w}) + ϵ (‖ d v ‖^{2})

$\delta a = \frac{\mu}{2\varepsilon^2} \Big(v_p \delta v_p + v_q \delta v_q + v_w \delta v_w \Big) + \epsilon(\|\delta \mathbf{v}\|^2)$

¿Qué podemos sacar de esto? Tenga en cuenta que el término entre paréntesis es idénticamente igual a $\mathbf{v} \cdot \mathbf{\delta v}$ . Es decir, con una precisión de primer orden, el semieje mayor se ve afectado únicamente por la componente de la perturbación en la dirección prograda/retrógrada . Este es el caso independientemente de en qué parte de la órbita suceda esto, no solo en uno de los ábsides.

Si queremos explorar una expansión de segundo orden, rápidamente se pone feo.

d a = \frac{\partial a}{\partial ε} (\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}} d v_{pag} + \frac{\partial ε}{\partial v_{q}} d v_{q} + \frac{\partial ε}{\partial v_{w}} d v_{w}) + \frac{1}{2} {\frac{\partial a}{\partial ε} (\frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{pag}^{2}} (d v_{pag})^{2} + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{pag} \partial v_{q}} (d v_{pag} d v_{q}) + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{pag} \partial v_{w}} (d v_{pag} d v_{w}) + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{q} \partial v_{pag}} (d v_{q} d v_{pag}) + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{q}^{2}} (d v_{q})^{2} + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{q} \partial v_{w}} (d v_{q} d v_{w}) + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{w} \partial v_{pag}} (d v_{w} d v_{pag}) + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{w} \partial v_{q}} (d v_{w} d v_{q}) + \frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{w}^{2}} (d v_{w})^{2}) + \frac{\partial^{2} a}{\partial ε^{2}} [{(\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}})}^{2} (d v_{pag})^{2} + (\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}}) (\frac{\partial ε}{\partial v_{q}}) (d v_{pag} d v_{q}) + (\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}}) (\frac{\partial ε}{\partial v_{w}}) (d v_{pag} d v_{w}) + (\frac{\partial ε}{\partial v_{q}}) (\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}}) (d v_{q} d v_{pag}) + {(\frac{\partial ε}{\partial v_{q}})}^{2} (d v_{q})^{2} + (\frac{\partial ε}{\partial v_{q}}) (\frac{\partial ε}{\partial v_{w}}) (d v_{q} d v_{w}) + (\frac{\partial ε}{\partial v_{w}}) (\frac{\partial ε}{\partial v_{pag}}) (d v_{w} d v_{pag}) + (\frac{\partial ε}{\partial v_{w}}) (\frac{\partial ε}{\partial v_{q}}) (d v_{w} d v_{q}) + {(\frac{\partial ε}{\partial v_{w}})}^{2} (d v_{w})^{2}]} + ϵ (‖ d v ‖^{3})

$\delta a = \frac{\partial a}{\partial \varepsilon}\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\delta v_p + \frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\delta v_q + \frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w} \delta v_w\right) + \frac{1}{2}\left\{ \frac{\partial a}{\partial \varepsilon} \left( \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v^2_p}(\delta v_p)^2 + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_p \partial v_q}(\delta v_p \delta v_q) + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_p \partial v_w}(\delta v_p \delta v_w) + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_q \partial v_p}(\delta v_q \delta v_p) + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v^2_q}(\delta v_q)^2 + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_q \partial v_w}(\delta v_q \delta v_w) + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_w \partial v_p}(\delta v_w \delta v_p) + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_w \partial v_q}(\delta v_w \delta v_q) + \frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v^2_w}(\delta v_w)^2 \right) + \frac{\partial^2 a}{\partial \varepsilon^2} \left[ \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\right)^2(\delta v_p)^2 + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\right)\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\right)(\delta v_p \delta v_q) + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\right)\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w}\right)(\delta v_p \delta v_w) + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\right)\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\right)(\delta v_q \delta v_p) + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\right)^2(\delta v_q)^2 + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\right)\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w}\right)(\delta v_q \delta v_w) + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w}\right)\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_p}\right)(\delta v_w \delta v_p) + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w}\right)\left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_q}\right)(\delta v_w \delta v_q) + \left(\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_w}\right)^2(\delta v_w)^2 \right]\right\} + \epsilon(\|\delta \mathbf{v}\|^3)$

¡Hoo chico!

Ahora hacemos las siguientes sustituciones:

\frac{\partial a}{\partial ε} = \frac{m}{2 ε^{2}}

$\frac{\partial a}{\partial \varepsilon} = \frac{\mu}{2\varepsilon^2}$

\frac{\partial^{2} a}{\partial ε^{2}} = - \frac{m}{4 ε^{3}}

$\frac{\partial^2 a}{\partial \varepsilon^2} = -\frac{\mu}{4\varepsilon^3}$

\frac{\partial ε}{\partial v_{i}} = v_{i}, i = pag, q, w

$\frac{\partial \varepsilon}{\partial v_i} = v_i,\;i=p,q,w$

\frac{\partial^{2} ε}{\partial v_{i} \partial v_{j}} = d_{i j} = {\begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \neq j \end{cases}, i, j = pag, q, w

$\frac{\partial^2 \varepsilon}{\partial v_i \partial v_j} = \delta_{ij} = \left\{\begin{array}{l}1, & i=j\\0, & i \neq j\end{array}\right., \; i,j = p,q,w$

Ahora, finalmente

d a = \frac{m}{2 ε^{2}} (v_{pag} d v_{pag} + v_{q} d v_{q} + v_{w} d v_{w}) + + \frac{1}{2} {\frac{m}{2 ε^{2}} [(d v_{pag})^{2} + (d v_{q})^{2} + (d v_{w})^{2}] - \frac{m}{4 ε^{3}} [v_{pag}^{2} (d v_{pag})^{2} + v_{q}^{2} (d v_{q})^{2} + v_{w}^{2} (d v_{w})^{2} + 2 v_{pag} v_{q} (d v_{pag} d v_{q}) + 2 v_{pag} v_{w} (d v_{pag} d v_{w}) + 2 v_{q} v_{w} (d v_{q} d v_{w})]} + ϵ (‖ d v ‖^{3})

$\delta a = \frac{\mu}{2\varepsilon^2} \Big(v_p \delta v_p + v_q \delta v_q + v_w \delta v_w \Big) + + \frac{1}{2}\left\{ \frac{\mu}{2 \varepsilon^2} \Big[ (\delta v_p)^2 + (\delta v_q)^2 + (\delta v_w)^2 \Big] - \frac{\mu}{4 \varepsilon^3} \Big[ v_p^2(\delta v_p)^2 + v_q^2(\delta v_q)^2 + v_w^2(\delta v_w)^2 + 2 v_p v_q(\delta v_p \delta v_q) + 2 v_p v_w(\delta v_p \delta v_w) + 2 v_q v_w(\delta v_q \delta v_w) \Big]\right\} +\epsilon(\|\delta \mathbf{v}\|^3)$

Escribiendo esto de forma más compacta:

d a = \frac{m}{2 ε^{2}} (v \cdot d v + \frac{‖ d v ‖^{2}}{2}) - \frac{m}{4 ε^{3}} (v \cdot d v)^{2} + ϵ (‖ d v ‖^{3})

$\delta a = \frac{\mu}{2\varepsilon^2} \left( \mathbf{v} \cdot \delta \mathbf{v} + \frac{\|\delta \mathbf{v}\|^2}{2} \right) - \frac{\mu}{4 \varepsilon^3} \Big( \mathbf{v} \cdot \delta \mathbf{v} \Big)^2 +\epsilon(\|\delta \mathbf{v}\|^3)$

Consecuencias importantes: con una precisión de segundo orden, la afirmación anterior sobre progrado/retrógrado no es aplicable .

Pensamientos finales

Aunque hay algunos inconvenientes al aplicar esto a los tres elementos de orientación debido a alguna degeneración en el formalismo de rotación definido por los ángulos de Euler, esta respuesta debería proporcionar todas las herramientas que necesita para calcular lo que está preguntando. Es una cuestión simple, aunque tediosa, simplemente seguir la expansión de Taylor para cada uno de los elementos restantes y aplicar transformaciones de coordenadas cuando corresponda.

Esto también debería proporcionar una buena ilustración de por qué nadie realmente hace expansiones de segundo orden. Las ecuaciones se vuelven desagradables muy rápidamente, con muy pocos beneficios que ofrecer desde el punto de vista del análisis numérico.

¡Veo a que te refieres! Nunca he usado coordenadas perifocales. Si bien parecen tener una definición clara aquí y en Wikipedia, no la entiendo; sigo pensando que hay algún truco que me estoy perdiendo porque la redacción se eligió con tanta precisión.
$\mathbf{\hat p}$ puntos desde el origen hasta el periapsis, pero ¿qué pasa con $\mathbf{\hat q}$ ? Está en el plano orbital y apunta en la dirección en la que estará el cuerpo después de pasar por el periapsis, pero ¿es ortogonal a $\mathbf{\hat p}$ ¿en el mundo real? Son $\mathbf{\hat p, \ \hat q, \ \hat w }$ como $\mathbf{\hat x, \ \hat y, \ \hat z }$ si tuviera que dibujarlos con x apuntando al periapsis y z perpendicular al plano? ¿O hay algo que no entiendo?
Una pregunta más, luego tendré que volver a esto más tarde hoy. Para la expresión final de $\delta a$ ¿Se derivó esto en el periapsis o se aplica en cualquier parte de la órbita? Creo que es periapsis, según la última oración en la primera sección denominada Coordenadas perifocales .
Parece que la respuesta a mi primera pregunta (los primeros dos comentarios) es "sí" según esta imagen i.stack.imgur.com/KE32r.png que encontré aquí .
Las coordenadas perifocales definen $\mathbf{\hat{p}}$ en la dirección del periapsis, $\mathbf{\hat{w}}$ en la dirección del vector de momento angular, y $\mathbf{\hat{q}} = \mathbf{\hat{w}} \times \mathbf{\hat{p}}$ completa la tríada ortonormal derecha.
La expansión de Taylor se deriva básicamente alrededor de cualquier punto arbitrario en la órbita. los valores de $\mathbf{v}$ y $\mathbf{r}$ determinará los efectos. El sistema de coordenadas perifocales facilita ver qué términos llegan a cero en el periápside o en el apoápside.
¿Podría agregar una línea en la respuesta que indique cómo obtener su Kepler (y el de todos los demás)? $v$ y $\mu$ a partir de números del mundo real? Mis 7,7 m/s $\delta v$ golpes de la ISS a 400 km tiene unidades. Las expresiones en mi pregunta son proporciones, pero están destinadas a usarse con valores físicos. Entonces el $\delta v / v_0$ es 1E-03 y el $\delta a / a_0$ Son 1E-06, 2E-03, 1E-06, pero sigo usando metros y segundos.
$\mu$ es una constante para cualquiera que sea el cuerpo central y se puede buscar en cualquier número de fuentes. $v$ es simplemente la magnitud de la velocidad en un momento dado. Creo que no entiendo el resto de tu pregunta.
Me gustaría probar su muy buena derivación y confirmar que da la misma respuesta que la mía. Sé que el mío es correcto porque puedo confirmar numéricamente en el mundo real, unidades mks. ¿Cómo puedo poner un ejemplo del mundo real en su derivación y obtener una respuesta? No pregunté cómo se hizo históricamente la derivación, o para una reproducción de lo que hay en un libro en un estante, pregunté específicamente "¿ Qué órbita obtendrá este cubesat si lo tiro fuera de la ISS hacia arriba, hacia adelante o hacia los lados?" por 7,7 m/seg? " Solo agregue lo suficiente para mostrar cómo UTILIZAR su resultado para un objeto en LEO en el mundo real.
@uhoh no hay nada de eso. Elija un conjunto de unidades consistente y conecte los números. La derivación que presenté no fue copiada de ningún libro o fuente "histórica". Lo derivé en el acto para su pregunta para que pueda comprender cómo hacer lo que quiere. Es una aplicación bastante sencilla pero tediosa de cálculo multivariante básico para hacer lo mismo con los otros cinco parámetros, pero el esfuerzo involucrado (varias horas) es más adecuado para un libro de texto de mecánica orbital que para un sitio como este.
En la medida en que proporcionaré una respuesta de "enchufar y tragar": los componentes progresivos aumentarán el semieje mayor, los componentes retrógrados lo disminuirán. La excentricidad cambiará según en qué parte de la órbita ejecute la quemadura. Las quemaduras radiales tienden a cambiar solo el argumento del periapsis. Si lo hace avanzar o retrasarlo depende tanto de la dirección como de la ubicación en la órbita. Las quemaduras fuera del plano afectan su inclinación y RAAN, nuevamente, según la dirección y el momento. La anomalía solo se ve afectada para compensar el cambio en el argumento del periápside.
Mi pregunta es realmente simple, ¡no nos "volvamos locos" todavía! Tengo un objeto en órbita circular de radio 6.778.000 km alrededor de la Tierra con un parámetro gravitacional estándar $GM_E$ = 3.986E+14 m^3/s^2 con una velocidad $v$ de 7669 m/s. ¿Puedo usar mi $v$ y $GM_E$ como tu $v$ y $\mu$ en esta ecuación por ejemplo: $\varepsilon = v^2/2 - \mu / |\mathbf{r}\|$ y no confundir tu $\mu$ con una masa reducida $m_1 m_2/(m_1+m_2)$ ? Si es así de fácil, solo le pedí que agregue una línea que diga y/o muestre esto. Puede ser útil para futuros lectores como yo.
Sí. Usas precisamente esos números. Me niego a poner números específicos en la respuesta para evitar dar la impresión de que este enfoque solo es aplicable a la órbita terrestre. El enfoque es general y funciona para cualquier cuerpo que pueda ser tratado como una masa puntual.
Esperaba publicar una respuesta complementaria al mismo tiempo que aceptaba, mostrando ahora muy bien que su derivación funciona aquí y para otros parámetros además $a$ pero se han quedado sin tiempo. Está por llegar, pero permítanme decir aquí que esto es justo lo que necesitaba, ¡y realmente aprecio el tiempo y el esfuerzo que han puesto aquí! ¡Gracias por su tiempo y paciencia!

Escualo · Answer 2

Un enfoque podría basarse en el análisis de los cambios de energía y momento angular. Por ejemplo, la energía se puede expresar como:

mi = \frac{v^{2}}{2} - \frac{m}{r} .

$\mathcal{E} = \frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r}.$

Equivalentemente:

mi = \frac{v^{T} v}{2} - \frac{m}{r} .

$\mathcal{E} = \frac{\boldsymbol{v}^\mathrm{T}\boldsymbol{v}}{2} - \frac{\mu}{r}.$

Eso significa que la energía después de una maniobra impulsiva $\boldsymbol{\Delta v}$ es dado por

{mi}_{+} = \frac{{(v + Δ v)}^{T} (v + Δ v)}{2} - \frac{m}{r} .

$\mathcal{E}_{+} = \frac{\left(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\Delta v}\right)^\mathrm{T}\left(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\Delta v}\right)}{2} - \frac{\mu}{r}.$

Restando las dos cantidades podemos obtener el cambio de energía total

{mi}_{+} - mi = Δ mi = \frac{{(v + Δ v)}^{T} (v + Δ v)}{2} - \frac{v^{T} v}{2} .

$\mathcal{E}_+-\mathcal{E} = \Delta \mathcal{E} = \frac{\left(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\Delta v}\right)^\mathrm{T}\left(\boldsymbol{v}+\boldsymbol{\Delta v}\right)}{2} -\frac{\boldsymbol{v}^\mathrm{T}\boldsymbol{v}}{2}.$

Note que el $\mu/r$ término se elimina porque una maniobra impulsiva no cambia la posición. Después de algunas simplificaciones llegamos a una expresión para el cambio en la energía orbital debido a una maniobra impulsiva:

Δ mi = v^{T} Δ v + \frac{{‖ Δ v ‖}^{2}}{2} .

$\Delta \mathcal{E} = \boldsymbol{v}^\mathrm{T}\boldsymbol{\Delta v} + \frac{\left\|\boldsymbol{\Delta v}\right\|^2}{2}.$

Ahora, ¿cómo podemos descomponer este cambio en componentes radial/tangencial/normal (RTN)? Primero, definimos los ejes principales del marco RTN:

i_{r} = \frac{r}{‖ r ‖}, i_{t} = \frac{i_{r} \times i_{norte}}{‖ i_{r} \times i_{norte} ‖}, i_{norte} = \frac{r \times v}{‖ r \times v ‖} .

$\boldsymbol{i}_r = \frac{\boldsymbol{r}} {\left\|\boldsymbol{r}\right\|},\quad \boldsymbol{i}_t = \frac{\boldsymbol{i}_r\times\boldsymbol{i}_n} {\left\|\boldsymbol{i}_r\times\boldsymbol{i}_n\right\|},\quad \boldsymbol{i}_n = \frac{\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}} {\left\|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}\right\|}.$

y utilícelos para definir una matriz de rotación desde el marco RTN al marco inercial:

q = [i_{r} i_{t} i_{norte}]

$\boldsymbol{Q} = \left[ \boldsymbol{i}_r\quad \boldsymbol{i}_t\quad \boldsymbol{i}_n \right]$

Con esta infraestructura ahora podemos expresar el cambio en la energía debido a una $\boldsymbol{\delta v}$ maniobra; yo suelo $\delta$ en lugar de $\Delta$ para indicar que la maniobra se expresa en el marco RTN:

d v = [Δ v_{r} Δ v_{t} Δ v_{norte}] .

$\boldsymbol{\delta v} = \left[ \Delta v_r\quad \Delta v_t \quad \Delta v_n \right].$

Nuestra expresión es:

Δ mi = v^{T} q d v + \frac{{‖ d v ‖}^{2}}{2} .

$\Delta \mathcal{E} = \boldsymbol{v}^\mathrm{T} \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\delta v} + \frac{\left\|\boldsymbol{\delta v}\right\|^2}{2}.$

Podemos usar esa expresión para expresar el cambio de energía debido a cambios individuales en la maniobra impulsiva:

Δ mi = Δ {mi}_{r} + Δ {mi}_{t} + Δ {mi}_{norte}

$\Delta \mathcal{E} = \Delta \mathcal{E}_r + \Delta \mathcal{E}_t + \Delta \mathcal{E}_n$

donde, para el subíndice $\gamma\in\left\{r, t, n\right\}$ , cada componente viene dado por:

Δ {mi}_{γ} = v^{T} q {d v}_{γ} + \frac{{‖ {d v}_{γ} ‖}^{2}}{2} .

$\Delta \mathcal{E}_\gamma = \boldsymbol{v}^\mathrm{T}\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\delta v}_\gamma + \frac{\left\|\boldsymbol{\delta v}_\gamma\right\|^2}{2}.$

el vector $\boldsymbol{\delta v}_\gamma$ tiene todos los componentes pero $\gamma$ puesto a cero. Puedes calcular el producto matriz a mano si quieres.

¿Esto funciona?

Tome una órbita arbitraria (elementos canónicos; $\mu=1$ )

r = [1, 2, 3], v = [- 0.3, - 0.2, - 0.1]

$\boldsymbol{r} = \left[1, 2, 3\right],\quad \boldsymbol{v} = \left[-0.3, -0.2, -0.1\right]$

su energía orbital es $\mathcal{E} = -1.9726124191242439\times10^{-1}$ . Aplicar una maniobra impulsiva

d v = [1, - 1, 2] \times 10^{- 3}

$\boldsymbol{\delta v} = [1, -1, 2] \times 10^{-3}$

conduce a la nueva energía

{mi}_{+} = \frac{‖ v + q d v ‖}{2} - \frac{m}{r} = - 1.9778736462262000 \times 10^{- 1} .

$\mathcal{E}_+ = \frac{\left\|\boldsymbol{v} + \boldsymbol{Q}\boldsymbol{\delta v}\right\|}{2} - \frac{\mu}{r} = -1.9778736462262000\times10^{-1}.$

el cambio es $\Delta\mathcal{E} = -5.2612271019561528\times10^{-4}$ .

Nuestra fórmula descompone correctamente este cambio como:

\begin{aligned} Δ {mi}_{r} & = - 2.6676124191242441 \times 10^{- 4} \\ Δ {mi}_{t} & = - 2.6136146828319081 \times 10^{- 4} \\ Δ {mi}_{norte} & = + 1.9999999999999321 \times 10^{- 6} \end{aligned}

$\begin{align} \Delta \mathcal{E}_r &= -2.6676124191242441\times 10^{-4}\\ \Delta \mathcal{E}_t &= -2.6136146828319081\times 10^{-4}\\ \Delta \mathcal{E}_n &= +1.9999999999999321\times 10^{-6} \end{align}$

que suman $-5.2612271019561528\times10^{-4}$ .

Podemos usar esos cambios en la energía para mapear directamente los cambios en el semieje mayor. Se puede utilizar un enfoque similar para trazar cambios en el momento angular y, por lo tanto, descomponer la excentricidad y la inclinación.

Este es un resumen útil y útil, y lo revisaré cuidadosamente a su debido tiempo. Pero estoy empezando con un $\Delta v$ de 7,7 km/s en una órbita de 400 km alrededor de la Tierra, no unidades canónicas. Ver este comentario .
Así que veo que puedo usar valores del mundo real para la velocidad y $GM_E$ para $\mu$ arriba y muy probablemente pueda aquí también. Me gusta mucho esta forma de la derivación, y ahora la revisaré cuidadosamente. Hay una opción en stackexchange para otorgar una bonificación a una respuesta ex post facto , por lo que si hago que todo funcione, otorgaré un segundo +100en agradecimiento por su tiempo y ayuda, y la forma concisa de la derivación. ¡Gracias!
Esta es una forma bastante elegante y concisa. pero no entiendo como se usa $\Delta\mathcal{E}$ para hacer frente a una inclinación de cambio. $\mathcal{E}$ es un escalar que proviene de otros dos escalares; $v^2$ y $1/r$ . Obtener la excentricidad y el semieje mayor es sencillo, pero ¿cómo identificar un cambio en la orientación del plano orbital en sí?

Derivación de los cambios en los Elementos Keplerianos inducidos por pequeños impulsos

UH oh

Mármol Orgánico

UH oh

Innovino

UH oh

russell borogove

CrisR

UH oh

Respuestas (2)

Tristán

Coordenadas perifocales

Elementos keplerianos en relación con coordenadas perifocales

Finalmente, a tu pregunta.

¡Hoo chico!

Ahora, finalmente

Pensamientos finales

UH oh

UH oh

UH oh

UH oh

Tristán

Tristán

UH oh

Tristán

UH oh

Tristán

Tristán

UH oh

Tristán

UH oh

Escualo

¿Esto funciona?

UH oh

UH oh

UH oh