Construir un hamiltoniano rotacional basado en un lagrangiano de forma general

Question

Construir un hamiltoniano rotacional basado en un lagrangiano de forma general

Física
dinámica-rotacional
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano
deberes-y-ejercicios

artfin

Me han dicho que se podría construir un hamiltoniano rotacional basado en un lagrangiano de forma general: $\mathcal{L} = \mathcal{L} (\vec{\Omega})$ . Al introducir los ángulos de Euler, se podría reescribir el lagrangiano en términos de los ángulos de Euler y sus derivados: $\mathcal{L} = \mathcal{L} (\vec{e}, \dot{\vec{e}})$ . La velocidad angular se expresa en términos de ángulos de Euler de la siguiente manera:

\vec{Ω} = [\begin{matrix} pecado (θ) pecado (ψ) & porque (ψ) & 0 \\ pecado (θ) porque (ψ) & - pecado (ψ) & 0 \\ porque (θ) & 0 & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} \dot{ϕ} \\ \dot{θ} \\ \dot{ψ} \end{matrix}] .

$\vec{\Omega} = \begin{bmatrix} \sin(\theta) \sin(\psi) & \cos(\psi) & 0 \\ \sin(\theta) \cos(\psi) & - \sin(\psi) & 0 \\ \cos(\theta) & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\ \dot{\psi} \end{bmatrix}.$ (Vector

[\begin{matrix} ϕ \\ θ \\ ψ \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \phi \\ \theta \\ \psi \end{bmatrix}$ se denota por

\vec{e}

$\vec{e}$ . ) El gran problema que encontré es que la velocidad angular depende del vector de velocidad general (

\dot{\vec{e}}

$\dot{\vec{e}}$ ) de forma lineal (por operador lineal

M (\vec{e})

$\mathbf{M}(\vec{e})$ cuya matriz se presenta arriba), por lo que el impulso general

\vec{p_{e}} = \frac{\partial L}{\partial \dot{\vec{e}}}

$\vec{p_e} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\vec{e}}}$ no es una función explícita del vector de velocidad general (

\dot{\vec{e}}

$\dot{\vec{e}}$ ). Es decir, el teorema de Donkin o la transformada de Legendre no se pueden aplicar porque los componentes generales de velocidad no se pueden escribir explícitamente como funciones de

\vec{e}

$\vec{e}$ y

\vec{p_{e}}

$\vec{p_e}$ .

Pedro Diehr

Una vez tomé una clase de álgebras de Lie donde el enfoque era la rotación de cuerpos rígidos en SO(3), y desarrollamos versiones discretas de las ecuaciones de Hamilton usando técnicas variacionales directamente para cada problema; Luego hicimos simulaciones por computadora con estos, obteniendo un grado de estabilidad muy alto. El propósito de la clase era estudiar técnicas adecuadas para cálculos orbitales. Utilizamos matrices de rotación de actitud como elemento de trabajo; estas son matrices sesgadas simétricas que forman un álgebra de Lie en so(3). La clase estuvo muy involucrada y genial.

artfin

Peter Diehr, y ¿qué utilidad tiene aquí el hamiltoniano de tiempo discreto?

Pedro Diehr

Pasamos de lagrangiano a hamiltoniano; el método era diferente al tuyo, pero no recuerdo ningún impedimento teórico. Pero el lagrangiano se expresó de otra manera.

Respuestas (1)

Construir un hamiltoniano rotacional basado en un lagrangiano de forma general

Una vez tomé una clase de álgebras de Lie donde el enfoque era la rotación de cuerpos rígidos en SO(3), y desarrollamos versiones discretas de las ecuaciones de Hamilton usando técnicas variacionales directamente para cada problema; Luego hicimos simulaciones por computadora con estos, obteniendo un grado de estabilidad muy alto. El propósito de la clase era estudiar técnicas adecuadas para cálculos orbitales. Utilizamos matrices de rotación de actitud como elemento de trabajo; estas son matrices sesgadas simétricas que forman un álgebra de Lie en so(3). La clase estuvo muy involucrada y genial.
Peter Diehr, y ¿qué utilidad tiene aquí el hamiltoniano de tiempo discreto?
Pasamos de lagrangiano a hamiltoniano; el método era diferente al tuyo, pero no recuerdo ningún impedimento teórico. Pero el lagrangiano se expresó de otra manera.

petr smirnov · Answer 1

El Lagrangiano es de hecho una ecuación de $\vec \Omega$ , sin embargo, en general será una función cuadrática de $\vec \Omega$ , ya que la energía cinética de rotación estaría dada por

\frac{1}{2} {\vec{Ω}}^{T} I \vec{Ω}

$\frac{1}{2}\vec \Omega ^T \mathbf{I}\ \vec \Omega$ Esto le daría los momentos generalizados deseados en función de los vectores de velocidad generales, ya que las entradas diagonales del tensor del momento de inercia no deben ser cero, lo que garantiza que los términos de velocidad cuadrados aparecerán en el Lagrangiano. La forma exacta del Lagrangiano dependerá del objeto que gira y de su momento de inercia.

Las notas de David Tong repasan el caso de un Lagrangiano rotacional en términos de ángulos de Euler para un trompo simétrico con bastante lucidez. Del lagrangiano explícito es fácil ver que $\frac{\partial^2 \mathcal{L}}{\partial \dot{\vec{e}}^2}$ es distinto de cero, lo que permite la aplicación de la Transformada de Legendre.

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artfin

Pedro Diehr

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Pedro Diehr

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petr smirnov

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