Resta relativista de velocidades

Pero lo es, ¿por qué crees que no lo es?

Definamos el sistema de referencia no primado como el sistema de reposo del observador externo y el sistema de referencia primado como el sistema de reposo del Objeto 1.

Dado que el movimiento es colineal, las únicas coordenadas que debemos tener en cuenta son el tiempo ($t$en un sistema sin imprimar o$t´$en sistema imprimado) y coordenadas$x$o$x´$.

La velocidad en un sistema no cebado se define:

$$v=\frac{d x}{dt}$$ Y en cebado: $$v'=\frac{dx'}{dt'}$$

Ahora, el sistema cebado se impulsa a lo largo de la coordenada x con velocidad$v_1$, por lo que la relación de coordenadas primadas y no primadas viene dada por lorentz boost:

$$t´=\gamma\left(t-\frac{v_1 x}{c^2}\right)$$ $$x´=\gamma\left(x-v_1 t\right)$$ de este modo: $$dt´=\gamma\left(dt-\frac{v_1 dx}{c^2}\right)$$ $$dx´=\gamma\left(dx-v_1 dt\right)$$ Y entonces: $$v'=\frac{dx'}{dt'}=\frac{dx-v_1 dt}{dt-\frac{v_1 dx}{c^2}}=\frac{\frac{d x}{dt}-v_1 }{1-\frac{v_1}{c^2}\frac{d x}{dt}}$$

$dx/dt$es la componente x de la velocidad en el sistema no imprimado del objeto en cuestión que tendrá la componente x' de la velocidad en el sistema imprimado dada por la fórmula anterior. Para el objeto 2 esto da:

$$v'_{2from1}=\frac{v_2-v_1 }{1-\frac{v_1 v_2}{c^2}}$$ dónde$v_2$y$v'_{2from1}$son componentes x,x´ de la velocidad del objeto 2 en los dos marcos, no su velocidad. Entonces, dependiendo de la dirección, pueden ser positivos o negativos.

En el primer caso, cuando los objetos se mueven uno contra el otro, la sustitución de las componentes de la velocidad por las velocidades (es decir, tomando el valor absoluto) da:

$$\left|v'_{2from1}\right|=\left|\frac{-\left|v_2\right|-v_1 }{1+\frac{v_1 \left|v_2\right|}{c^2}}\right|=\frac{\left|v_2\right|+v_1 }{1+\frac{v_1 \left|v_2\right|}{c^2}}$$ tal como escribiste.

Para la misma dirección se obtiene:

$$\left|v'_{2from1}\right|=\left|\frac{\left|v_2\right|-v_1 }{1-\frac{v_1 \left|v_2\right|}{c^2}}\right|$$ si$v_1>\left|v_2\right|$obtenemos: $$\left|v'_{2from1}\right|=\frac{v_1-\left|v_2\right|}{1-\frac{v_1 \left|v_2\right|}{c^2}}$$ por lo que su fórmula es nuevamente correcta.

Tenga en cuenta que también es independiente de la posición real del Objeto 2, por lo que no estoy seguro de por qué cree que debe suponer que el Objeto 2 está más alejado del observador. También tenga en cuenta que en la derivación asumí que el observador, el objeto 1, el objeto 2 y su movimiento son todos colineales. Pero la fórmula funciona incluso si el observador no es colineal con el movimiento del objeto 1 y el objeto 2, porque la velocidad es invariable en la traducción y puede agregar un paso para traducir el sistema de observadores a uno colineal.