Representación del grupo Lorentz

Estoy un poco confundido acerca de las representaciones del grupo de Lorentz. Veo que el grupo de Lorentz no es compacto y, por lo tanto, no hay una representación dimensional finita unitaria irreductible fiel. De hecho, puedo ver que los generadores de grupos de rotación son antihermitianos, mientras que los generadores de impulso son hermíticos y, por lo tanto, la representación no es unitaria. Lo mismo ocurre en la representación de Dirac.

Cuando presento el grupo de Poincaré, veo que el operador de traducción actúa sobre C ∞ funciones, por lo que también necesito generadores para impulsos y rotaciones que puedan dar una representación infinita del grupo lorentz; Por lo tanto, utilizo el operador de momento angular genérico.

Mi pregunta es, ¿por qué no tengo una representación de dimensión infinita también para los espinores? ¿Es porque la representación espinorial del grupo de Lorentz actúa solo en los grados de libertad de espín?

Además, en "An Introduction to Quantum Field Theory" de Peskin y Schroeder en la página 41 dice: "De hecho, el grupo de Lorentz, al no ser compacto, no tiene representaciones fieles de dimensión finita que sean unitarias. Pero eso no importa para nosotros, desde ψ no es una función de onda; es un campo clásico". ¡¿Qué significa esto?! ¡Estoy confundido!

¿Por qué dirías que no hay representaciones de espinores unitarias de dimensión infinita? campo de dirac ψ ( X ) es sólo un ejemplo de tal representación.
@SolenodonParadoxus ¿Podría explicarme por qué el espinor es una representación?
@ usuario129511 Solo el ψ ( X ) campo con las propiedades de transformación habituales... Los detalles se dan en la respuesta de Frederic Thomas.
"Pero eso no nos importa, ya que 𝜓 no es una función de onda; es un campo clásico". Esta afirmación es falsa, creo que 𝜓 es una función de onda en el espacio de Hilbert; si escribes EOM de 𝜓 como
i ∂ t ψ = H ψ
y H = − i γ 0 γ j ∂ j + metro γ 0 .

Respuestas (1)

Los Dirac-Spinors en la teoría relativista son representaciones de dimensión finita del grupo de Lorentz con la peculiaridad de ser no unitarias.

ψ α = Λ β α ψ β

de dimensión finita Λ ≈ 1 + 1 2 ω m v METRO m v dónde METRO m v es una matriz perteneciente a las generadoras del grupo de Lorentz y ω m v una matriz antisimétrica que contiene el 3-dim. ángulo α parámetro y la velocidad de 3 dim. v / C parámetro.

En la teoría no relativista necesitas el módulo de la función de onda | ψ ′ | 2 = ( tu ψ ) † tu ψ = ψ † ψ = | ψ | 2 siendo invariante, de hecho eso solo puede lograrse con representaciones unitarias, por ejemplo con las del S O ( 3 ) -grupo. Sin embargo, el módulo correspondiente | ψ | 2 = ψ + ψ = ψ ¯ γ 0 ψ en la teoría relativista en realidad se transforma como un componente 0 de un vector de 4, por lo que no es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. Entonces, la no unitaridad de las transformaciones de Lorentz no es un problema.

Sin embargo, si se considera el grupo de Poincaré, también se obtienen representaciones de dimensión infinita con espinores que se transforman así:

ψ ′ α ( X ′ ) = tu ( Λ ) ψ α ( X ) tu ( Λ − 1 ) = D ( Λ − 1 ) β α ψ β ( Λ X )

Y son de dimensión infinita y unitarias.

Para los espinores de Weyl relativistas es bastante similar, las expresiones formales en esta respuesta son las mismas, excepto por el detalle de que el tamaño de las matrices y los elementos de la matriz que se utilizan deben adaptarse. Sobre todo una expresión tentativa como | ψ | 2 ∼ ψ † A ˙ ψ A (si tal expresión tuviera algún sentido, no estoy seguro) formado por Weyl-spinors tampoco necesita ser invariante, por lo tanto, no se requiere la unitaridad de la representación finita de la transformación de Lorentz.

Para más detalles se debe consultar la literatura. Una elección a este respecto es, por ejemplo, el libro de Srednicki.

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