Repetir una medición vs incertidumbre

Question

Repetir una medición vs incertidumbre

Física
observables
mediciones
mecánica cuántica
Principio de incertidumbre de Heisenberg

nir

La wikipedia dice sobre la medición en la mecánica cuántica que:

Repetir la misma medida sin ninguna evolución del estado cuántico conducirá al mismo resultado.

Por otro lado, ¿no implica la incertidumbre (en el momento) que no puedo esperar medir dos veces la misma posición de una partícula?

EDITAR : encontré el siguiente extracto de Feynman en el segundo capítulo del primer volumen de sus conferencias; parece relacionado con la pregunta y posiblemente en desacuerdo con algunas de las respuestas:

¿Qué evita que los electrones simplemente caigan? Este principio: si estuvieran en el núcleo, sabríamos su posición con precisión, y el principio de incertidumbre requeriría entonces que tuvieran un momento muy grande (pero incierto), es decir, una energía cinética muy grande. Con esta energía se separarían del núcleo. Hacen un compromiso: se dejan un pequeño espacio para esta incertidumbre y luego se mueven con una cierta cantidad de movimiento mínimo de acuerdo con esta regla. (Recuerde que cuando un cristal se enfría al cero absoluto, dijimos que los átomos no paran de moverse, todavía se mueven. ¿Por qué? Si dejaran de moverse, sabríamos dónde estaban y que tenían movimiento cero, y eso está en contra el principio de incertidumbre. No podemos saber dónde están y qué tan rápido se mueven, ¡así que deben estar moviéndose continuamente allí!)

Respuestas (3)

Repetir una medición vs incertidumbre

mateus sampaio · Answer 1

El Postulado de la Proyección establece que si tenemos un observable $O$ con espectro discreto $\{\lambda_i\}$ , después de una medida en un sistema que da como resultado el valor propio $\lambda_a$ , el sistema inicial $|\psi_i\rangle$ se reduce al estado

| ψ_{F} ⟩ = \frac{{PAG}_{a} | ψ_{i} ⟩}{‖ {PAG}_{a} | ψ_{i} ⟩ ‖}

$|\psi_f\rangle=\frac{P_a|\psi_i\rangle}{\|P_a|\psi_i\rangle\|}$ dónde

P_{a}

$P_a$ es la proyección en el espacio propio del valor propio

λ_{a}

$\lambda_a$ . Cualquier medición repetida de

O

$O$ en este estado sin tiempo la evolución dará el mismo resultado

λ_{a}

$\lambda_a$ , desde

O | ψ_{F} ⟩ = \frac{O {PAG}_{a} | ψ_{i} ⟩}{‖ {PAG}_{a} | ψ_{i} ⟩ ‖} = \frac{λ_{a} {PAG}_{a} | ψ_{i} ⟩}{‖ {PAG}_{a} | ψ_{i} ⟩ ‖} = λ_{a} | ψ_{F} ⟩

$O|\psi_f\rangle=\frac{OP_a|\psi_i\rangle}{\|P_a|\psi_i\rangle\|}=\frac{\lambda_aP_a|\psi_i\rangle}{\|P_a|\psi_i\rangle\|}=\lambda_a|\psi_f\rangle$ es decir,

| ψ_{f} ⟩

$|\psi_f\rangle$ es un vector propio de

O

$O$ con valor propio

λ_{a}

$\lambda_a$ .

En el caso del espectro continuo, existen algunas complicaciones, ya que los vectores propios no son normalizables y, por lo tanto, no son estados aceptables. Pero como la medida de un valor exacto de posición, por ejemplo, no puede hacerse con una precisión arbitraria, lo que realmente se mide es la proyección sobre alguna región del espectro, como la dimensión del detector. En ese caso, digamos que la partícula se mide en la región $[a,b]$ . Por el postulado de proyección, el estado final será (en representación de posición, ignorando la normalización):

ψ_{F} (X) = {PAG}_{[a, b]} ψ_{i} (X) = x_{[a, b]} ψ_{i} (X)

$\psi_f(x)=P_{[a,b]}\psi_i(x)=\chi_{[a,b]}\psi_i(x)$ dónde

χ_{[a, b]}

$\chi_{[a,b]}$ es la función característica de

[a, b]

$[a,b]$ . Es decir, la función de onda final será la restricción de la inicial al intervalo

[a, b]

$[a,b]$ . Tenga en cuenta que todavía tenemos una incertidumbre en el impulso como se esperaba, pero si el sistema no evoluciona con el tiempo, cualquier otra medida de posición aún estará restringida a

[a, b]

$[a,b]$ , ya que el soporte final de la función de onda está en esa región.

pero, a medida que aumentamos la precisión de la medición de la posición, también aumentamos la incertidumbre del momento y, por lo tanto, ¿no deberíamos esperar que implique un cambio en la posición de la partícula, en la medida en que no se puede restringir a la intervalo [a,b]?
Supongo que estás pensando demasiado clásicamente. Si bien tiene razón en su afirmación de que la incertidumbre del impulso aumentará a medida que aumentemos la precisión, estamos hablando de mediciones sucesivas sin evolución temporal . Dicho esto, si bien es cierto que si dejamos que el sistema evolucione, tendríamos una probabilidad de encontrar la partícula afuera $[a,b]$ , eso no puede suceder si no hay tiempo para que el sistema evolucione.

garyp · Answer 2

Lo que te falta es el contexto de esa declaración. En las oraciones que lo preceden, se le dice que se preparó el sistema y luego se realizó una medición, lo que resultó en el colapso de la función de onda en un estado propio. La propiedad medida es el valor propio de ese estado propio.

Cualquier medición adicional de esa propiedad dará como resultado el mismo valor propio. El sistema se ha derrumbado en ese estado propio, y más mediciones de esa propiedad no harán que el sistema se mueva de ese estado.

La completa incertidumbre que tienes en el impulso garantiza que puedas conocer la posición con exactitud.

Pero, ¿el impulso no está relacionado con un cambio de posición? si la incertidumbre en el impulso implica que puede ser distinto de cero, entonces, ¿cómo podemos esperar la misma medida de posición nuevamente?
Su noción de impulso puede ser un poco demasiado clásica. El impulso implica un cambio de posición. Pero si la partícula tiene una posición definida, se desconoce la incertidumbre en el momento. Quizás una mejor manera de verlo es reconocer que la partícula está en un estado que es una superposición de todos los momentos posibles, positivos y negativos. El impulso medio es cero.

quarkleptonbosón · Answer 3

quarkleptonbosón

Espera, ¿estás seguro de haber entendido correctamente el principio de incertidumbre? No se descarta la posibilidad de medir dos veces el mismo valor de posición. El principio de incertidumbre solo relaciona la cantidad de incertidumbre en el impulso medido que obtendrá si conoce la posición con una precisión conocida.

Pero uno de los resultados importantes de la mecánica cuántica es que la medición colapsará una función de onda en uno de sus estados propios, de modo que otras mediciones arrojarán los mismos valores.

nir

Estoy seguro de que todavía no lo entiendo correctamente, ya que recientemente comencé a estudiar esto (por mi cuenta).

quarkleptonbosón

Si te estás confundiendo, vuelve a la declaración fundamental.

Δ x Δ y \geq \frac{h}{4 π}

$\Delta x \Delta y \geq \frac{h}{4\pi}$ y recuerda que

Δ A

$\Delta A$ es la desviación estándar en la medida de A, definida como

\sqrt{< A^{2} > - < A >^{2}}

$\sqrt{<A^2> - <A>^2}$ dónde

< A >

$<A>$ y

< A^{2} >

$<A^2>$ son los valores esperados de

A

$A$ y

A^{2}

$A^2$ respectivamente

nir

¿No significa esto que no puede tener la misma medida exacta de posición por segunda vez, ya que eso implicaría que el impulso es cero, en contradicción con el principio de incertidumbre?

quarkleptonbosón

oh cierto, debería repetir mi énfasis en el hecho de que una vez que se ha realizado la medición, la función propia colapsa. Cuando esto sucede, pierde el comportamiento ondulatorio de la partícula, lo que da como resultado que esa partícula tenga una posición y un momento definidos. (El principio de incertidumbre depende del comportamiento de las olas)

nir

Heisenberg: "Es imposible determinar con precisión tanto la posición como la dirección y la velocidad de una partícula en el mismo instante" - en.wikipedia.org/wiki/Uncertainty_principle#History

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