Relatividad y componentes de una forma 1

Tengo una pregunta sobre Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitación ISBN 978-0-7167-0344-0. Es un libro sobre la teoría de la gravitación de Einstein.

En la página 313, el ejercicio 13.2. "Practice with Metric" presenta una variedad de cuatro dimensiones en coordenadas esféricas +$v$que tiene un elemento de línea

$$ds^2 = - (1-2 M/r) dv^2 + 2 dv dr+r^2 (d\theta^2 + sin^2 \theta d\phi^2).$$

La pregunta (b) es:

Definir un campo escalar$t$por

$$t \equiv v - r - 2M \ln((r/2M)-1)$$ ¿Cuáles son los componentes covariantes y contravariantes de la forma 1?$dt$(igual a tu tilde)? cual es la longitud al cuadrado$u^2$del vector correspondiente? Muestra esa$u$es temporal en la región$R > 2M$.

Mi intento:

Primero diferencie para obtener la forma 1$dt$:

$$dt = dv - dr - dr/2M \cdot \frac{1}{(r/2M)-1} = dv - dr (1+\frac{1}{r-2M})$$

Sin embargo, la corrección dice que$u_r = -1/(1-2M/r)$que no es equivalente a lo que escribí. ¿Dónde está mi error?

Entiendo que la longitud al cuadrado de$u$proviene del término distinto de cero v covariante y contravariante:$1\cdot -1/(1-2M/r)$y la r,$\phi$y$\theta$los términos tienen cero componentes en los términos contravariantes.

Ahora, para demostrar que es temporal en una determinada región, necesito hacer el producto escalar de dt con los componentes espaciales y encontrar cero. Para los ángulos, parece bastante trivial, pero para$r$, no estoy seguro de cómo mostrar eso$dt \cdot dr = 0$. ¿Podría alguien ayudarme por favor?