Encuentre la matriz de rotación para rotar los ejes y mover las coordenadas del punto de P0 a P1

tengo un punto PAG 0 = [ X 0 , y 0 , z 0 ] ′ . Quiero rotar los ejes para que las nuevas coordenadas sean PAG 1 = [ X 1 , y 1 , z 1 ] ′ . Defina las siguientes matrices de rotación:

R X = [ 1 0 0 0 porque ⁡ α − pecado ⁡ α 0 pecado ⁡ α porque ⁡ α ] , R y = [ porque ⁡ β 0 pecado ⁡ β 0 1 0 − pecado ⁡ β 0 porque ⁡ β ] , R z = [ porque ⁡ γ − pecado ⁡ γ 0 pecado ⁡ γ porque ⁡ γ 0 0 0 1 ] y R X y z = R X R y R z .

Quiero PAG 1 = R X y z PAG 0 y [ α , β , γ ] ser tal que α , β , γ = 0 si PAG 1 = PAG 0 ; α , β = 0 si la rotación se puede obtener ajustando solo γ ; α = 0 si la rotación se puede obtener ajustando solo β y γ . ¿Alguna pista?

EDITAR : Siguiendo la respuesta de JordiC: sí, la distancia al origen es la misma para PAG 0 y PAG 1 ; puedo configurar α = 0 y la matriz de rotación se simplificará:

R = [ porque ⁡ β porque ⁡ γ − porque ⁡ β pecado ⁡ γ pecado ⁡ β pecado ⁡ γ porque ⁡ γ 0 − porque ⁡ γ pecado ⁡ β pecado ⁡ β pecado ⁡ γ porque ⁡ β ] .

Encontré esto: encuentre la rotación que asigna un punto a su objetivo , que parece ser la misma pregunta.

Respuestas (2)

Si usa solo rotaciones para convertir las coordenadas de P0 a P1, necesitará solo 2 rotaciones para la conversión. También la distancia al origen de P0 y P1 debe ser la misma. En este caso siempre puedes considerar que:

α = 0.

Así que solo tienes que pensar en β y γ.

Y β será siempre 0 si z0 = z1.

Ok, he aclarado mi pregunta. Ahora tengo tres ecuaciones trigonométricas en dos ángulos desconocidos. ¿Hay una manera simple de resolver para β y γ ?

Ok, he encontrado una solución rápida. Breve ejemplo con comentarios en Matlab.

% P0 and P1 are two vectors on a unit sphere:
P0 = randn(3, 1); P0 = P0 / norm(P0);
P1 = randn(3, 1); P1 = P1 / norm(P1);

% theta and phi are the respective spherical coordinates:
phi_0 = acos(P0(3));
theta_0 = atan2(P0(2), P0(1));
phi_1 = acos(P1(3));
theta_1 = atan2(P1(2), P1(1));

% Show that the coordinates are equivalent:
P0b = zeros(3, 1);
P0b(1) = sin(phi_0) .* cos(theta_0);
P0b(2) = sin(phi_0) .* sin(theta_0);
P0b(3) = cos(phi_0);
all(fix(1e12 * (P0 - P0b)) == 0)

% R1: Rotation matrix to move P0 to the north pole:
P0_y = -phi_0; P0_z = -theta_0;
R1 = [cos(P0_y) * cos(P0_z) -cos(P0_y) * sin(P0_z) sin(P0_y);
      sin(P0_z) cos(P0_z) 0;
     -sin(P0_y) * cos(P0_z) sin(P0_y) * sin(P0_z) cos(P0_y)];

% R2: Rotation matrix to move P1 to the north pole ...
P1_y = -phi_1; P1_z = -theta_1;
R2 = [cos(P1_y) * cos(P1_z) -cos(P1_y) * sin(P1_z) sin(P1_y);
      sin(P1_z) cos(P1_z) 0;
     -sin(P1_y) * cos(P1_z) sin(P1_y) * sin(P1_z) cos(P1_y)];
% ... and back to its original position:
R2 = R2 ^ (-1);

% Rotation matrix to move P0 to the north pole and from the north pole to P1
R = R2 * R1;

% New coordinates of P0 after rotation:
P0_rot = R * P0;

% Check that the new coordinates of P0 are the same as P1
all(fix(1e12 * (P0_rot - P1)) == 0)

% Rotation matrix to move back the rotated point P0 to its original coordinates
R_back = R^(-1);
% Coordinates rotated back
P0_rot_back = R_back * P0_rot;
% Check the new coordinates of P0, once rotated back:
all(fix(1e12 * (P0_rot_back - P0)) == 0)

Espero que haya una forma más obvia de hacerlo, pero por ahora esta solución parece funcionar bien.

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