Relación entre la cantidad de movimiento y la incertidumbre de la cantidad de movimiento

Para cualquier medición, no existe una relación general entre la medición (promedio) en sí y la incertidumbre (desviación estándar) de esa medición. La declaración en negrita se refiere a las medidas en general.

Usualmente reportamos una medida como

$$p\pm\Delta p$$ dónde$p$representa un promedio de nuestras medidas, y$\Delta p$está relacionado con la desviación estándar de nuestras medidas. Esta expresión esencialmente dice "Estoy bastante seguro de que el valor que estamos tratando de medir está en algún lugar dentro de este rango de$p-\Delta p$a$p+\Delta p$.

Así que si$\Delta p>p$, entonces estamos diciendo que nuestro valor real podría estar en un rango que se extenderá por debajo$0$y más del doble de lo que es nuestro promedio. Esto no está bien.

También puedes mirar la incertidumbre fraccionaria.$\frac{\Delta p}{p}$. Si$\Delta p>p$, entonces la incertidumbre fraccionaria es mayor que$1$. Una vez más, esto es un problema, ya que colocamos nuestra medición real en un rango que cubre un intervalo grande en comparación con nuestro promedio.

Entonces, si su incertidumbre es mayor que el promedio, básicamente no puede decir nada útil sobre su medición.

La idea errónea aquí es que hay un impulso real y no una superposición de impulsos. Además, el impulso promedio (o valor esperado) no es relevante.

Lo que dice el libro es que si$\Delta p$es grande, entonces debe haber estados de gran cantidad de movimiento en el estado actual. De hecho, la función de onda de menor cantidad de movimiento con$\Delta p$es:

$$\psi(p) = \frac{1}{\sqrt 2}[\delta(\Delta p) \pm \delta(-\Delta p)]$$

que es una superposición de$p = \pm\Delta p$estados propios, lo que confirma exactamente lo que dice el libro. Cualquier otro estado con una desviación estándar de$\Delta p$(y significa$\bar p = 0$) tendrá componentes de momento aún más altos.