¿Relación entre hipótesis ergódica y postulado fundamental de la mecánica estadística?

Hipótesis ergódica (EH) : durante largos períodos de tiempo, el tiempo que pasa un sistema en alguna región del espacio de fase de microestados con la misma energía es proporcional al volumen de esta región.

Digamos que divide su espacio de fase en celdas de volumen$\Delta p \Delta q$. Si el sistema es ergódico, el tiempo que pasa el sistema en una de estas regiones es

$$\tau \propto \Delta p \Delta q$$

Si haces una observación del sistema, la probabilidad$P$que encuentre que su microestado se encuentra en una determinada celda en el espacio de fase es proporcional a$\tau$:

$$P \propto \tau \propto\Delta p \Delta q$$

En el límite en el que el volumen de la celda se vuelve cada vez más pequeño, tienes

$$dP \equiv \rho(p,q)dp dq \propto dpdq$$

donde hemos introducido la densidad de probabilidad$\rho(p,q)$. Por lo tanto, hemos encontrado que

$$\rho(p,q) = constant$$

es decir, la densidad de probabilidad es uniforme: es igualmente probable que el sistema se encuentre en cualquiera de los microestados correspondientes al macroestado.

Postulado de igual probabilidad a priori (PEAPP): en equilibrio, todos los microestados compatibles con un macroestado dado son igualmente probables.

El PEAPP es menos estricto que el EH porque no dice nada sobre la evolución del tiempo. En lo que respecta a la PEAPP, podría no haber evolución temporal (microscópica) en absoluto.

Pongámoslo de esta manera: el PEAPP le dice que si tiene un número infinito de copias de un sistema en un cierto macroestado$\mathcal M$, la probabilidad de que encuentre uno de estos sistemas en uno de los microestados compatibles con$\mathcal M$es una constante Sin embargo, también es posible que si pudieras seguir la evolución temporal de uno solo de estos sistemas, no observarías ninguna evolución temporal: esto es compatible con PEAPP.

La PEAPP te permite hacer mecánica estadística, en el sentido de que te da un "prior" (la distribución microcanónica) a partir de la cual puedes empezar a construir mecánica estadística. El EH hace mucho más: le proporciona un vínculo entre los promedios de espacio de fase y la evolución temporal. De hecho, una consecuencia de la EH es que los promedios de tiempo realizados durante un intervalo de tiempo largo (infinito) son equivalentes a los promedios de espacio de fase:

$$\bar A = \lim_{T \to \infty} \int_0^T A(p(t),q(t)) dt = \langle A \rangle = \int A(p,q) \rho(p,q) dp dq \tag{1}$$

Este resultado da una justificación de la validez de la mecánica estadística (aunque no sea la única forma posible de hacerlo), porque en la vida real no tenemos un número infinito de copias del sistema (el llamado "conjunto" ) disponible, pero solo podemos hacer mediciones en una sola copia del sistema.

Dado que las escalas de tiempo microscópicas son del orden de$10^{-15}$s, y los tiempos de observación macroscópica son del orden de$1$S, podemos esperar$(1)$para trabajar incluso si en realidad no podemos tomar el límite$T\to \infty$.