Pregunta sobre la técnica de Graham, Knuth y Patashnik para convertir recurrencias de primer orden en sumatorias

En Concrete Mathematics , Graham, Knuth y Patashnik describen la siguiente técnica para convertir las relaciones de recurrencia de primer orden de la forma

$$\begin{equation} a_nT_n = b_nT_{n-1} + c_n \end{equation}$$

en sumatorias.

• Paso 1. Encuentra una función$s_n$con la propiedad que $$s_nb_n = s_{n-1}a_{n-1}$$
• Paso 2. Multiplica ambos lados de la recurrencia por$s_n$, dandote $$s_na_nT_n = s_nb_nT_{n-1} + s_nc_n$$ o equivalente, $$s_na_nT_n = s_{n-1}a_{n-1}T_{n-1} + s_nc_n$$
• Paso 3. Definir $$S_n = s_na_nT_n$$ y reescribir la recurrencia como $$S_n = S_{n-1} + s_nc_n$$
• Paso 4. Escribe$S_n$como la suma $$S_n = s_0a_0T_0 + \sum_{k = 1}^n s_kc_k = s_1b_1T_0 + \sum_{k = 1}^n s_kc_k$$
• Paso 5. Encuentra una forma cerrada para la suma$S_n$.
• Paso 6. Para encontrar la forma cerrada de$T_n$, simplemente multiplica la forma cerrada de$S_n$por$\frac{1}{s_na_n}$.

Adicionalmente, alegan que el valor adecuado de$s_n$siempre viene dado por

$$s_n = \frac{a_1a_2\cdots a_{n-1}}{b_2b_3\cdots b_n}$$ que justifican razonando de la siguiente manera:

Desde$b_ns_n = s_{n-1}a_{n-1}$, lo sabemos

$$s_n = \frac{s_{n-1}a_{n-1}}{b_n}$$ insertando el valor de$s_{n-1}$, encontramos que esto es igual a $$\frac{s_{n-2}a_{n-2}a_{n-1}}{b_{n-1}b_n}$$ y al continuar de esta manera, finalmente encontramos que $$s_n = \frac{a_1a_2\cdots a_{n-1}}{b_2b_3\cdots b_n}$$ Pero cuando sigo de esta manera lo que encuentro es que $$s_n = \frac{s_1a_1a_2\cdots a_{n-1}}{b_2b_3\cdots b_n}$$ Observe la$s_1$en el numerador . ¿Qué estoy haciendo mal aquí?