Pasar de una función generadora racional a una relación de recurrencia

Estoy tratando de entender el siguiente segmento de mis notas:

.

Intentaré explicar lo que creo que entiendo y señalar las partes que no entiendo.

Primero, hay un resultado en mis notas (que no se muestra aquí) que prueba que una función generadora racional define una relación de recurrencia homogénea. Luego, consulto la siguiente sección de mis notas:

.

Este es un procedimiento para convertir una relación de recurrencia homogénea en una función generadora (en su forma racional). Dada la forma racional$f(x) = \frac{1 + 7x}{1 + x - 6x^2}$, vemos que los coeficientes que definen la relación de recurrencia homogénea (es decir, la$b_1, \dots, b_k$) se encuentran en el denominador, por lo que concluimos que$a_n = 6 a_{n - 2} - a_{n - 1}$.

No entiendo cómo las condiciones iniciales$a_0 = 1$y$a_1 = 6$se determinan por división larga. Solo estoy vagamente familiarizado con la división de polinomios, por lo que es posible que me esté perdiendo algo obvio, pero no lo es.$\frac{1 + 7x}{1 + x - 6x^2}$simplemente igual a$1 + 7x$, porque el grado del numerador es menor que el grado del denominador? ¿Cómo me ayuda esto a determinar las condiciones iniciales?

De acuerdo con mis notas (que no se muestran aquí), la "fórmula del término", como la llamo para el$i$coeficiente$a_i$de la función generadora se puede encontrar factorizando el denominador de$\frac{1 + 7x}{1 + x - 6x^2}$en una forma adecuada, aplicando el método de fracciones parciales y utilizando un resultado relativo al término fórmula para$\frac{1}{(1 - cx)^k}$para$c \in \mathbb C$. al final lo consigo$a_i = \frac{9}{5} \cdot 2^i - \frac{4}{5} (-3)^i$, que es el mismo resultado que el de mis notas, y a partir de esto podemos determinar las condiciones iniciales$a_0$y$a_1$.

Agradezco cualquier ayuda.