Prueba combinatoria de x(n)=∑nk=1L(n,k)(x)kx(n)=∑k=1nL(n,k)(x)kx^{(n)} = \sum_{k = 1}^n L(n,k)(x)_k

notando que$\binom{a}{b}=\frac{(a)_b}{b!},$puedes escribir tu expresión como

$$\binom{x+n-1}{n}=\sum _{k=1}^n\binom{n-1}{n-k}\binom{x}{k}$$ que es Vandermonde, por lo que la prueba combinatoria estándar de Vandermonde es suficiente.

Observe que la fórmula explícita proviene de mezclar los elementos de$[n]$en una línea, usando estrellas y barras para ver que$\binom{n-1}{n-k}$es el número de formas de particionar el$n$en positivo$k$partes$a_1+a_2+\cdots +a_k=n$donde el orden importa, por lo que divide su línea usando primero$a_1$números, entonces$a_2$hasta que consigas el$n$números, y sacando el orden de los$k$partes. Por ejemplo: Dado$a_1=4,a_2=2,a_3=1,a_4=4$entonces $$\underbrace{1\,9\,10\,2}_{a_1}\,\underbrace{5\,6}_{a_2}\,\underbrace{4}_{a_3}\,\underbrace{7\,3\,8}_{a_4}\text{ gives the ordered partition.}$$

Basta mostrarlo sólo por$x$un número entero porque estos son polinomios en$x$y si tienes dos polinomios$P_1(x)=P_2(x)$para$x\in \mathbb{N}$entonces

$$P_1(x)-P_2(x)=0$$ implica que el polinomio de LHS tiene raíces infinitas, eso es posible si el polinomio de la izquierda es estrictamente$0.$