Relación de dispersión para ondas TE y TM en medio anisotrópico general

Quiero calcular la relación de dispersión (la relación entre$\bf k$y tensores de permitividad y permeabilidad y$\omega$) para una onda TE y una TM con vector de onda$\mathbf k=k_x\mathbf {\hat x}+k_z\mathbf {\hat z}$propagándose en un medio anisotrópico con permeabilidad diagonal general y tensores de permitividad$\mu=\mu_0 \tilde \mu$y$\epsilon=\epsilon_0 \tilde \epsilon$con$\tilde \epsilon$y$\tilde \mu$dada a continuación.

Escribo las ecuaciones rotacionales de Maxwell para los campos con una dependencia espacio-temporal de la forma$\exp(-ik_0\bf k\cdot r+i\omega t)$(con$k_0=\omega\sqrt{\epsilon_0\mu_0})$en el$k$dominio como siempre:

$$\bf k\times \bf E=\bf {\tilde \mu} \bf B$$ $$\bf k\times \bf H=-\bf{ \tilde \epsilon} \bf E$$

dónde$\bf{ \tilde \epsilon}$y$\bf {\tilde \mu}$son matrices adimensionales:

$$\begin{pmatrix} \epsilon_x & 0 &0 \\ 0 & \epsilon_y & 0\\ 0 &0 &\epsilon_z \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \mu_x & 0 &0 \\ 0 & \mu_y & 0\\ 0 &0 &\mu_z \end{pmatrix}$$ escribiendo los productos vectoriales $\bf k\times \bf H$y $\bf k\times \bf E$como multiplicación de matrices $\bar k \bf H$con $$\bar k=\begin{pmatrix} 0 & -k_z &k_y \\ k_z & 0 & -k_x\\ -k_y &k_x &0 \end{pmatrix}$$

Reescribo las ecuaciones de curl como:

$$\cases{ \bar k \bf H=-\tilde \epsilon\bf E\\\bar k \bf E=\tilde \mu \bf H}\to\cases{(\bar k \tilde \mu^{-1}\bar k+\tilde \epsilon)\bf E=0 \\(\bar k \tilde \epsilon^{-1}\bar k+\tilde \mu)\bf H =0 }$$ Ahora, el determinante de las matrices de coeficientes $\bar k \tilde \epsilon^{-1}\bar k+\tilde \mu$y $\bar k \tilde \mu^{-1}\bar k+\tilde \epsilon$debe ser cero para que los sistemas tengan soluciones no triviales.

Mi pregunta es, ¿dónde en este proceso debo considerar la suposición de que las ondas son TM o TE? Sé que la relación de dispersión final depende de esto (siendo TE o TM)