Relación de conmutación de la segunda cuantificación de un operador

Question

Relación de conmutación de la segunda cuantificación de un operador

Física
conmutador
espacio de hilbert
mecánica cuántica
segunda cuantización

uzizi_1

Dejar $h$ ser un operador autoadjunto en un espacio de Hilbert $\mathfrak{h}$ y $H_N:=\sum_{i=1}^N h_i$ definido en $H(\mathfrak{h})^{\otimes N}\subset \mathfrak{h}^{\otimes N}$ . Dejar $\overline{\text{d}\Gamma(h)}$ ser la segunda cuantización de $h$ , $f\in D(h), \Psi\in D(H)\cap D(\mathcal{N^\alpha})$ para $\alpha\geq 1/2$ . ¿Cómo puedo ver eso entonces para el operador de aniquilación? $a(f)$ y el operador de creación $a^\dagger(f)$ mantiene las siguientes relaciones de conmutación:

\begin{aligned} [\bar{d Γ (h)}, a (F)] & = - a (h F) \\ [\bar{d Γ (h)}, a^{†} (F)] & = a^{†} (h F) \end{aligned}

$\begin{align} [\overline{\text{d}\Gamma(h)}, a(f)] &= -a(hf)\\ [\overline{\text{d}\Gamma(h)}, a^\dagger(f)] &= a^\dagger(hf)\\ \end{align}$ como operadores acotados?

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Relación de conmutación de la segunda cuantificación de un operador

mike piedra · Answer 1

Creo que, en una notación más convencional, estás diciendo que si

H = a_{i}^{†} h_{i j} a_{j}

$H= a^\dagger_i h_{ij}a_j$ con

h_{i j}

$h_{ij}$ una matriz autoadjunta que representa un primer hamiltoniano cuantificado y

a

$a$ ,

a^{†}

$a^\dagger$ Fermi o bosónicos creadores y aniquiladores, luego

[H, a_{k}^{†}] = - a_{i}^{†} h_{i k}, [H, a_{k}] = h_{k i} a_{i}

$[H,a^\dagger_k]= -a^\dagger_i h_{ik}, \quad [H,a_k]= h_{ki}a_i$ Ambos se siguen de

[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B

$[AB,C]= A[B,C]+ [A,C]B$ en el caso de Bose o

[A B, C] = A {B, C} - {A, C} B

$[AB,C]= A\{B,C\} - \{A,C\}B$ en el caso Fermi. Por supuesto, si está preocupado por los aspectos del análisis funcional o en qué topología de operadores tenemos convergencia, entonces se necesita más.

Relación de conmutación de la segunda cuantificación de un operador

uzizi_1

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