Reglas de autómatas celulares para la mecánica cuántica

No hay nada que te impida interpretar la ecuación de Schrödinger como reglas para un autómata celular, de hecho, la ecuación de Schrödinger tiene la misma forma que la ecuación de difusión, pero evoluciona en un tiempo imaginario . Escribamos algunas reglas.

$$i \hbar \dot \psi = H \psi$$ suponiendo que tenemos un potencial independiente del tiempo $$i \hbar \dot \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \psi'' + V \psi$$ Tomando diferencias de primer orden para las derivadas, creamos

$$i \hbar \frac{1}{dt} \left( \psi^{t+1}_x - \psi^t_x \right) = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{dx^2} \left( \psi^t_{x-1} - 2 \psi^t_{x} + \psi^t_{x+1} \right) + V \psi^t_x$$ reordenando obtenemos $$\psi^{t+1}_x = (1 - i\bar V) \psi_x + i \alpha \left( \psi_{x-1} - 2 \psi_x + \psi_{x+1} \right)$$ donde he dejado caer el índice de tiempo a la derecha, $\alpha = h dt / 2m dx^2$y $\bar V = V dt / \hbar$, o quizás más simbólicamente

$$\psi^{t+1} = \psi + i \alpha \ \text{lap}(\psi) - i \bar V \psi$$ dónde $\text{lap}$representa el operador laplaciano de celosía (para que podamos generalizar fácilmente a dimensiones más altas).

Compare esto con la ecuación de difusión estándar, para la cual tenemos

$$\phi^{t+1} = \phi - D \ \text{lap}(\phi)$$

La ecuación de Schrödinger parece muy similar, aunque el campo es complejo y su cambio en cada lugar es un$i$rotación de su estado actual laplaciano y potencial.

Terminaré con una nota de advertencia. Traté de implementar este autómata celular simple, con la esperanza de agregar una película de la solución de un oscilador armónico o algo similar, pero tal como se presenta, el autómata está terriblemente mal acondicionado y explota rápidamente con un modo de tablero de ajedrez. Esto se debe a que hemos tratado de describir la ecuación diferencial de primer orden con una evolución de Euler directa simple, que no tiene buenas propiedades de convergencia. Al usar RK4 (cuarto orden de Runge Kutta), pude hacer que los autómatas se comportaran bien, pero no fue una película tan inspiradora, así que lo dejaré como un ejercicio para que el lector implemente esto por sí mismo. .

También señalaré que esto no es realmente toda esa novela. Resolver sistemas cuánticos mediante la discretización de la ecuación de Schrödinger es una práctica bastante común, como lo es para la mayoría de las soluciones numéricas de las ecuaciones diferenciales en general, pero la gente normalmente no piensa ni habla de estas soluciones numéricas como autómatas celulares, aunque se podría pensar en ellas como tales. si ayuda a entender.

Excelente pregunta, tengo una mentalidad similar al haber estudiado temas similares. La interpretación celular de las ecuaciones diferenciales realmente me ayuda a desarrollar la intuición y jugar con ellas.

Está buscando una formulación de autómata celular continuo, que también se puede interpretar/implementar como un sistema de difusión de reacción con n-"químicos" o componentes vectoriales (uno para cada variable continua).

Consulte el marco https://github.com/GollyGang/ready que se desarrolló para estudiar exactamente este tipo de sistemas: el ejemplo incluido Schroedinger1926/two_slit.vti es exactamente lo que está buscando. Aquí hay una película: https:// www.youtube.com/watch?v=te_JU3RZ2eM&ab_channel=TimHutton

Se usa una regla bastante estable (creo que probablemente sea un esquema de segundo orden (integración de salto): necesita 4 componentes reales (llamados "químicos" listos) a, b, c, d en cada punto en el espacio y actualizarlos de acuerdo a:

delta_a = -laplacian_b - c*b;
delta_b =  laplacian_a + c*a;
d = a*a + b*b + c;

Los autores escriben

En nuestra implementación, 'a' representa la parte real del número complejo y 'b' la parte imaginaria. Un fondo de energía fijo viene dado por 'c'. La densidad de probabilidad se muestra en 'd', con la barrera de energía superpuesta.

Otras reglas pueden ser estables con intervalos de tiempo más grandes o más pasos de simulación: su kilometraje puede variar. Los ejemplos de NumericalMethods brindan una descripción general rápida de los esquemas de integración de bajo orden disponibles, cada uno con una estabilidad muy diferente después de decenas de miles de pasos de tiempo.

Aparte

En caso de que esté interesado: he hecho y respondido una pregunta sobre un marco/paquete de software para estudiar sistemas en la forma de "autómata celular" aquí: https://softwarerecs.stackexchange.com/questions/77313/can-you-recommend -an-interactive-cell-automata-2d-sparse-grid-visualization/77487#77487 También me pregunto cuál sería la mejor manera de incorporar el fenómeno del colapso en este tipo de modelo. Parece que no está confirmado que el colapso sea realmente un fenómeno instantáneo:

Los límites experimentales del tiempo de colapso son del orden de 0,1 ms a 0,1 ps https://iopscience.iop.org/article/10.1088/1742-6596/410/1/012153/pdf

así que tal vez solo necesitemos propagar información adicional en una celda por paso más o menos para propagar la información de colapso (y asegurarnos de que si ocurren dos colapsos, solo uno de ellos prevalece)...