Regla de cuantización de Dirac

i) En primer lugar, la regla de cuantificación de Dirac

para monopolos magnéticos se puede generalizar a la condición de cuantificación de Dirac-Zwanziger-Schwinger

para Dyons . (En un ligero mal uso de la terminología, a continuación también incluiremos partículas puramente cargadas eléctricamente y monopolos magnéticos puros en la definición de dion).

II) Deja$\Gamma=\{(q,g)\}$denote el conjunto de cargas eléctricas y magnéticas para dyons. Es natural pensar en$\Gamma$como un subconjunto del plano$\mathbb{R}^2$. El lado izquierdo de (2) tiene un significado geométrico como un área con signo dividida por dos vectores$(q_1,g_1)$y$(q_2,g_2)$.

III) Supongamos ahora que$\Gamma\backslash\{(0,0)\}$no está vacío, es decir, existe un dyon$(q_1,g_1)\neq(0,0)$para empezar. que puntos$(q_2,g_2)\in\Gamma$de$\mathbb{R}^2$no entraría en conflicto con la condición (2)? La respuesta es un conjunto de rectas discretas equidistantes paralelas al vector$(q_1,g_1)$.

IV) Supongamos ahora que$\Gamma$contiene al menos dos vectores linealmente independientes$(q_1,g_1)$y$(q_2,g_2)$. que puntos$(q_3,g_3)\in\Gamma$de$\mathbb{R}^2$no entraría en conflicto con la condición (2)? La respuesta es una cuadrícula/retícula discreta de puntos de intersección, es decir, precisamente donde se encuentran los dos conjuntos correspondientes de líneas paralelas discretas equidistantes de la sección III. En otras palabras, los cargos están cuantificados.

V) Como caso especial, si existe al menos una partícula puramente cargada eléctricamente y al menos un monopolo magnético puro, estamos en la situación descrita en el apartado IV, por lo que las cargas deben estar cuantizadas.

Creo que esta es una pregunta abierta válida. Si resulta que no hay una sola carga magnética g, sino un continuo de carga magnética, entonces la condición de cuantización no sería una explicación suficiente para e.

Sin embargo, probar realmente si un continuo de carga magnética conduce o no a alguna contradicción requeriría, como mínimo, resolver un problema de n cuerpos con múltiples cargas magnéticas, lo cual no es un asunto trivial incluso para los profesionales en el campo. (o al menos un problema de 3 cuerpos con 2 cargas magnéticas a ver si surge una contradicción o reafirmación de la cuantización)

Si este tema ha sido abordado en la literatura, sería bueno que alguien con el conocimiento proporcione algunas citas como material de referencia para los interesados.

1) Suponga que existe una carga eléctrica mínima distinta de cero,$q_0$. Por lo tanto, la carga magnética mínima es

2) En segundo lugar, si la teoría conserva C y CP. Entonces el dyon$(q,g_0)$automáticamente implica un conjugado dyon$(-q,g_0)$. Aplicando la condición de Dirac-Zwanziger (ver, en la respuesta de @Qmechanic) para estos dos dyons

o,

Así que tenemos dos posibilidades, la carga eléctrica$q$toma múltiplos enteros de$q_0$, o toma múltiplos enteros impares de$q_0/2$.

Intentaré responder desde una perspectiva matemática pura. La regla de cuantificación establece que para cualquier posible$q$y$g$, hay algo$n\in\mathbb{Z}$tal que$qg=nh$.

Ahora considere el conjunto$X=\{n\in\mathbb Z^+|\exists q\in Q^+, g\in G^+\ \mathrm{s.t.} \ qg=nh\}$, dónde$Q^+$contiene todas las posibles cargas positivas y$G^+$contiene todas las posibles cargas magnéticas positivas (de monopolos magnéticos). Considere el elemento mínimo$n_0$en el conjunto$X$, entonces hay algo$q_0$y$g_0$que satisface$q_0g_0=n_0h$.

Tenga en cuenta que a menudo se supone que$n_0=1$, pero no es necesario en esta demostración.

Ahora considere algunos$g\neq g_0$. Después$q_0g=nh$para algunos$n$. Ya que$n_0$es mínimo, tenemos$n>n_0$. Ya que ambos$n$y$n_0$son enteros, tenemos$n=pn_0+r, 0\leq r<n_0, p\in\mathbb{Z}^+$. Si$r\neq 0$, después$0<q_0(g-pg_0)=rh<nh$, contradiciendo que$n$es mínimo Por lo tanto$r=0$. y$g=pg_0$, asi que$g$se cuantifica en la unidad de$g_0$. Del mismo modo, podemos demostrar que$q$deben ser múltiplos de$q_0$.

Hablando matemáticamente, las únicas suposiciones utilizadas anteriormente son que si$q$es un cargo válido, entonces$-q$también es un cargo válido, y que si$q_1$y$q_2$son cargos válidos, entonces$q_1+q_2$es un cargo válido. lo mismo para$g$. Creo que estas suposiciones deberían ser bastante naturales dada la naturaleza física de$q$y$g$.