¿Referencias modernas y completas para el método k⋅pk⋅pk\cdot p?

Cualquier buen libro de Física de Semiconductores tendrá una descripción del método kp. Pruebe Fundamentos de física de semiconductores de Peter Yu y Manuel Cardona. Otra referencia para Kane Model y EFA son los capítulos 2 y 3 de "Wave Mechanics Applied to Semiconductor Heterostructures" de Gerald Bastard.

Si desea una discusión más orientada a las matemáticas/teoría de grupos, pruebe los primeros capítulos sobre el modelo de Kane extendido en "Efectos de acoplamiento espín-órbita en sistemas bidimensionales de electrones y huecos" de Roland Winkler.

Pero la razón es muy simple y es una simple consecuencia del teorema de Bloch, que establece que los estados propios de un electrón que se encuentra en un potencial periódico se pueden escribir como:

$\psi_{k}(\vec{x}) = e^{i\vec{k}\cdot\vec{x}} u_{\vec{k}}(\vec{x})$

donde, esto es muy importante,$u(\vec{x})$tienen la misma periodicidad del potencial.

Ahora, puedes conectar esta identidad en la ecuación de Schrödinger:

$\left(\frac{p^2}{2m} + V(\vec{x})\right)\psi_{\vec{k}}(\vec{x}) = E(\vec{k}) \psi_{\vec{k}}(\vec{x})$

y eventualmente encontrará una ecuación diferencial para el$u_{\vec{k}}(\vec{x})$funciones(*):

$\left(\frac{p^2}{2m} + \frac{\hbar}{m} \vec{k}\cdot\vec{p} + V(\vec{x})\right)u_{\vec{k}}(\vec{x}) = E(\vec{k}) u_{\vec{k}}(\vec{x})$

Observe que esto parece un problema de valor propio para un$\vec{k}$-Hamiltoniano dependiente. Para cada valor de$\vec{k}$, puede resolver este problema y encontrar las energías propias. Esto dará lugar a las bandas de energía. Fíjate en el término$\vec{k}\cdot\vec{p}$en este hamiltoniano, que da nombre al método. Parece que este hamiltoniano dependiente de k es simplemente el antiguo hamiltoniano más un término de perturbación proporcional a$\vec{k}\cdot\vec{p}$. (**)

Ahora, puede construir una representación matricial de este problema de valores propios proyectándolo sobre una base. Para una elección conveniente de la base, debe especificar la simetría del material específico con el que está tratando. Vas a estudiar las representaciones irreducibles del grupo de simetría del cristal.

El truco es que la función$u_{\vec{k}}(\vec{x})$debe ser invariante bajo el mismo grupo de simetría que el hamiltoniano original

$H = \frac{p^2}{2m} + V(\vec{x})$

Si este es el caso, ¡entonces puede elegir fácilmente una base en la que este hamiltoniano sea diagonal! Solo tienes que elegir vectores que se transformen según las representaciones irreducibles de este grupo. Ahora solo tienes que preocuparte por el término kp. La matriz hamiltoniana será una parte diagonal más una perturbación fuera de la diagonal. Pero este término fuera de la diagonal no es arbitrario. Si estudias cómo el operador$\vec{k}\cdot\vec{p}$se transforma relativamente a los diversos irreps del grupo, tendrás muchos ceros. Puede determinar todos los términos del hamiltoniano que serán distintos de cero con este procedimiento.

Ahora solo tiene una matriz con un montón de constantes en cada entrada donde la simetría le dice que, en principio, el hamiltoniano no debería ser cero. Ahora tienes que encontrar estas constantes. Tienes dos posibilidades: obtienes datos de experimentos o de simulaciones ab initio. Esto es lo más lejos que puede llegar simplemente usando simetría.

Tenga en cuenta que hasta este punto todo esto es exacto. No se hicieron aproximaciones. El siguiente paso del modelo de Kane es incluir la posibilidad de una simetría traslacional ligeramente rota. Esto nos lleva a la Aproximación de la Función de Envolvente (EFA). ¡Pero esto ya se está haciendo demasiado largo y confuso! :)

Por favor, echa un vistazo al libro de Yu-Cardona. Hay una muy buena discusión pedagógica sobre esto allí. El libro de Bastard tiene una buena derivación de la matriz Kane y la matriz EFA. El libro de Wrinkler tiene una derivación matemáticamente más rigurosa de los argumentos de la teoría de grupos.

Si necesita constantes medidas experimentalmente para su matriz Kane, hay una revisión muy completa de Vurgaftman et al para semiconductores III-V:

Parámetros de banda para semiconductores compuestos III-V y sus aleaciones. Aplicación J. física , v. 89, n. 11, pág. 5815–5875, 2001.

(*) si tiene interacciones espín-órbita u otros efectos relativistas, esto complicará un poco la derivación, pero seguirá siendo esencialmente válida.

(**) Hay una diferencia crucial: ¡este nuevo problema de valor propio tiene diferentes condiciones de contorno! Puedes resolverlo dentro de una celda unitaria, porque$u(\vec{x})$es periódico. Y la condición de contorno viene dada por este requisito de periodicidad.

Tuve la suerte de estudiar el método kp de las fuentes. Encontrarás mucha inspiración en estos primeros trabajos. Aquí está la lista de autores: Schokley, Kane, Cardona y Pollak, Luttinger y Kohn. Todos ellos publicaron artículos notables sobre el método kp en Phys Rev.