$\renewcommand{ket}[1]{|#1\rangle}$La conexión lógica básica aquí es

$$\text{symmetry} \rightarrow \text{degeneracy} \rightarrow \text{avoided crossing} \rightarrow \text{band gap} \, .$$

$\textrm{symmetry}\rightarrow \textrm{degeneracy}$

Considere un operador$S$y deja$T(t) = \exp[-i H t / \hbar]$Sea el operador de evolución temporal. Si

$$[ T(t), S] = 0$$ después $S$es una transformación de simetría. Podemos ver por qué esta condición de conmutación es una definición sensata de simetría al considerar un estado inicial $\ket{\Psi}$y el estado transformado $\ket{\Psi'} \equiv S \ket{\Psi}$. Si $[T, S] = 0$, después $$\begin{align} T S \ket{\Psi} &= S T \ket{\Psi} \\ T \ket{\Psi'} &= S \ket{\Psi(t)} \\ \ket{\Psi'(t)} &= S \ket{\Psi(t)} \, . \end{align}$$ Esto dice que si transformamos un estado inicial y luego lo propagamos en el tiempo (lado izquierdo), obtenemos lo mismo que si lo propagamos en el tiempo y luego lo transformamos (lado derecho). Imagine un hamiltoniano 1D con simetría izquierda/derecha. Esa simetría significa que, por ejemplo, un paquete de ondas que se mueve hacia la derecha es el espejo de un paquete de ondas que se mueve hacia la izquierda. En otras palabras, si nos movemos bien en el tiempo $t$y luego espejo, obtenemos lo mismo que el paquete que se mueve a la izquierda después de un tiempo $t$.

Una forma sencilla de encontrar un operador$S$que viaja con$T$es encontrar uno que conmute con$H$. Si$S$viaja con$H$entonces tenemos degeneración porque para un estado propio de energía$\ket{\Psi}$con valor propio$E$tenemos

$$H (S \ket{\Psi}) = S H \ket{\Psi} = E (S \ket{\Psi})$$ que dice que $S\ket{\Psi}$es también un estado propio de $H$con energia $E$. Tenga en cuenta que esto también muestra que el número de estados degenerados es igual al número de veces que puede multiplicar $S$por sí mismo antes de obtener la identidad.

$\textrm{degeneracy} \rightarrow \textrm{avoided crossing}$

Supongamos que tiene un hamiltoniano$H$que depende de un parámetro$\lambda$, y supongamos para un valor particular$\lambda_0$,$H$tiene una simetría y por lo tanto una degeneración. Esto se ilustra mediante las líneas de puntos en el diagrama que muestran las energías de los estados$\ket{\Psi}$y$S\ket{\Psi}$como funciones de$\lambda$; se cruzan en$\lambda_0$. Si hay otro término$V$en el hamiltoniano que no es simétrico bajo$S$, entonces la degeneración desaparece y las energías para$\ket{\Psi}$y$\ket{\Psi'}$no cruzar. Este famoso "paso a nivel evitado" se indica con líneas continuas en la figura.$^{[a]}$El cálculo del desnivel en el paso a nivel evitado es un problema estándar en la mecánica hamiltoniana y se puede realizar utilizando la teoría de perturbaciones considerando los dos niveles involucrados en el cruce.

$\textrm{avoided crossing} \rightarrow \text{band gap}$

El hamiltoniano para un electrón en un cristal tiene tres partes: energía cinética, energía potencial y acoplamiento electrón-electrón. Olvidémonos por completo de las interacciones electrón-electrón y supongamos que la energía potencial del cristal es débil en comparación con las energías cinéticas de los electrones. En este caso, podemos tratar la energía cinética como la parte fuerte$H$y la energía potencial como parte débil$V$del hamiltoniano. Resulta que si calcula las energías cinéticas del electrón en una red periódica en función del momento del cristal$\vec{k}$hay degeneración dondequiera$\vec{k}$choca contra un avión de Bragg. pensando ahora en$\vec{k}$jugando el papel de$\lambda$, tenemos un cruce de energía cuando el momento del cristal golpea un plano de Bragg.

Cuando añadimos la energía potencial de la red, ésta juega el papel de$V$y divide la degeneración, produciendo lo que llamamos una brecha de banda.

$[a]$: Los pasos a nivel evitados no son un efecto cuántico. Un hamiltoniano clásico con una parte fuerte$H$exhibiendo una simetría y una parte más débil$V$romper esa simetría también exhibe un paso a nivel evitado.

Referencia: Recomiendo encarecidamente leer los capítulos 8 y 9 de Ashcroft and Mermin's Solid State Physics . Los argumentos presentados aquí se explican con gran detalle matemático.

Si solo hay un máximo de banda en la BZ, este punto es uno de los puntos de alta simetría de la BZ. Sin embargo, puede haber casos en los que haya muchos puntos que sean un máximo de banda y no se encuentren en uno de los puntos de alta simetría de la BZ. Sin embargo, estos puntos están todos conectados por una operación de simetría.

Un ejemplo de un sistema con mínimos de banda alejados de los puntos de simetría son quizás un poco esotéricos, como aislantes topológicos, gases de electrones bidimensionales,... En este caso el acoplamiento espín-órbita es el responsable de la "división" de la banda. mínimo en dos puntos que están conectados mediante simetría quiral. (Referencia: Acoplamiento espín-órbita en gases cuánticos , mira la figura 1)

Para comprender la conexión entre los máximos de banda y las simetrías, tomemos el conjunto de operaciones de simetría$\Pi_i$del grupo de simetría del material. Supongamos ahora que el punto$\mathbf{k}^*$es un máximo de banda (o mínimo). En este caso, los puntos simétricos$\Pi_i \mathbf{k}^*$y$\Pi_i^n \mathbf{k}^*=(\Pi_i\dots\Pi_i) \mathbf{k}^*$son también banda máxima (o mínima), por la sencilla razón de que la energía es la misma$E(\Pi^n_i \mathbf{k}^*)=E(\mathbf{k}^*)$.

Excluyendo las degeneraciones accidentales, sólo existen dos casos:

1) Hay una banda como máximo$\mathbf{k}^*$que es un punto de alta simetría con respecto a todas las transformaciones$\Pi_i$del grupo de simetría (típicamente, el centro de la BZ). En este caso,$\Pi_i\,\mathbf{k}^*=\mathbf{k}^*$(y también$\Pi^n_i \mathbf{k}^*=\mathbf{k}^*$para cualquier entero$n$).

2) Hay muchos máximos de banda, que están conectados entre sí a través de una transformación de simetría.$\Pi_i^n$del grupo de simetría.

Por lo tanto, puede haber casos en los que haya varios puntos que sean máximos (o mínimos) de banda y no estén en uno de los puntos de alta simetría de la BZ. En este caso, estos puntos están todos conectados por una operación de simetría. Sin embargo, se puede considerar la BZ irreducible, que es la primera zona de Brillouin reducida por todas las simetrías en el grupo de puntos de la red. Dado que todos los máximos están conectados por una operación de simetría, solo puede haber una banda máxima (o mínima) en el BZ irreducible.

EDITAR : Sin embargo, a menudo ocurre que la estructura de la banda muestra el mínimo de la banda en el centro de la BZ. Esto puede explicarse por el simple hecho de que en una amplia gama de materiales, como metales, semiconductores y aislantes convencionales, la estructura de banda está bien descrita en la aproximación de electrones casi libres . En estos materiales, la repulsión de Coulomb entre los electrones y otros tipos de interacciones pueden despreciarse, y uno se queda con un hamiltoniano más simple que contiene solo interacciones entre los electrones y la red.

$$H =-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\lambda V(\mathbf{r}),$$ donde el primer término es la energía cinética de los electrones y $V(\mathbf{r})$es la atracción de Coulomb entre los electrones y la red de iones. Los niveles de energía se pueden escribir en este caso como $$E_k = \frac{\hbar^2 k^2}{2 m} + O(\lambda)$$ dónde $O(\lambda)<0$es la corrección del término cinético debido a la interacción electrón-red. Este término es negativo, ya que la energía del sistema reticular electrónico es menor que la energía de un sistema formado únicamente por electrones en el vacío. Si la corrección es pequeña y el término cinético es el orden principal en energía, se tiene la bien conocida dispersión parabólica $E\propto k^2$que es una buena aproximación cerca del centro de la BZ $k=0$, que es también el mínimo en energía. Por lo tanto, mientras se mantenga la aproximación de electrones casi libres y la interacción electrón-ion sea pequeña, el mínimo de la banda estará en el centro de la BZ. Una interpretación semiclásica de este resultado es que la energía es mínima cuando los electrones no se mueven ( $\mathbf{k}=0$).

Este resultado también es válido si se tiene en cuenta una interacción electrón-ion finita (el término de corrección$O(\lambda)$), al menos en materiales con alta simetría (por ejemplo, celosía cúbica). En este caso, la dispersión de electrones se modifica y es proporcional a los cosenos del momento.$\mathbf{k}$(p. ej., en el enfoque de vinculación estrecha).

En el caso de sistemas fuertemente correlacionados (por ejemplo, aisladores de Mott) o en sistemas donde el acoplamiento espín-órbita es relevante (aisladores topológicos, elementos pesados ​​con$f$-shells), la aproximación de electrones casi libres falla y el mínimo de la banda puede no estar más en el centro de la BZ. Los contraejemplos más estudiados de una estructura de banda donde el mínimo de la banda está lejos de la entrada de BZ son los aisladores topológicos.

Si los extremos de la banda ocurren en puntos no simétricos en la zona de Brillouin (necesariamente múltiples, ya que deben estar relacionados por el grupo de simetría espacial), entonces en la transición del aislador de banda de metal, los electrones de conducción tendrán momentos y funciones de onda desproporcionados. sólo será cuasiperiódica. Esto es inusual, pero ocurre ocasionalmente. Es un fenómeno matemáticamente similar a los cuasicristales.

Para un ejemplo concreto simple, considere una cadena 1D con términos de salto del vecino más cercano y términos de antisalto del vecino más cercano:

$$H = \sum_i \left[ -t_1 \left(a_{i+1}^\dagger a_i + a_i^\dagger a_{i+1} \right) + t_2 \left(a_{i+2}^\dagger a_i + a_i^\dagger a_{i+2} \right) \right]$$

En el espacio de cantidad de movimiento, esto se convierte en

$$H = \int \frac{dk}{2\pi} \left[ -t_1 \cos(k) + t_2 \cos(2k) \right].$$ Si$t_2 > t_1/4$, entonces los mínimos de la banda ocurren en momentos (genéricamente) inconmensurables$k = \pm \arccos \left(\frac{t_1}{4t_2} \right)$.