Recalentamiento perturbativo después de la inflación en la teoría ϕ4ϕ4\phi^4

Es. La imagen básica es que el inflatón se comporta como un campo clásico oscilante que se puede considerar, más o menos, como una colección de partículas con momento y masa cero.$m\sim \omega$dónde$\omega$es la frecuencia de oscilación. En el caso$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$la frecuencia viene dada por la masa del inflatón,$\omega = m$. La única diferencia en el caso$V=\frac{\lambda}{4}\phi^4$es que la oscilación es un poco diferente. Ahora la frecuencia de la oscilación es$\omega \sim \sqrt{\lambda}\Phi$. Entonces reemplazando$m$con$\sqrt{\lambda}\Phi$en la fórmula para la tasa de decaimiento esperaríamos algo como

$$\begin{equation} \Gamma(\phi\phi\rightarrow\chi\chi) \sim \frac{g^4\Phi}{\sqrt{\lambda}} \end{equation}$$

Si queremos un resultado más preciso, necesitamos hacer el cálculo perturbativo. Lo he esbozado a continuación.

Producción de partículas por un campo oscilante.

Ignoremos la expansión del universo y supongamos que tenemos un campo clásico$\phi$que oscila con un periodo$T$y que se acopla a un campo cuántico$\chi$a través de la interacción$V_I = g^2\phi(t)\chi^2$. Podemos expandir el campo en una serie armónica.

$$\begin{equation} \phi(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \phi_n e^{-i n\omega t} \end{equation}$$ dónde $\omega = 2\pi/T$es la frecuencia principal. Estamos interesados ​​en producir un par de $\chi$-partículas fuera del vacío por lo que queremos encontrar la amplitud de transición

$$\begin{equation} \mathcal A \equiv \langle \mathbf{k_1,k_2}|e^{-i\int\mathrm{d} t H_I}|0\rangle \simeq -ig^2 \int \mathrm{d}t\:\phi(t)\int \mathrm{d}^3\mathbf{x}\langle 0| \hat a_\mathbf{k_1}\hat a_\mathbf{k_2}\hat \chi^2|0\rangle. \end{equation}$$ Como de costumbre, reemplazamos la expresión de la imagen de interacción para $\chi$

$$\begin{equation} \hat\chi = \int\frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{(2\pi)^{3/2}\sqrt{2\omega_k}}\left(\hat a_\mathbf{k}e^{-i\omega_k t + i\mathbf{k\cdot x}} + \mathrm{h.c.}\right), \end{equation}$$ dónde $\omega_k^2 \equiv k^2+m_\chi^2$, y obtenemos para la amplitud de transición

$$\begin{equation} \mathcal{A} = -\frac{2i\pi g^2\delta(\mathbf{k_1+k_2})}{\omega_{k}}\int \frac{\mathrm{d}t}{2\pi}\phi(t)e^{2i\omega_kt} \end{equation}$$ Conectando nuestra expansión armónica para $\phi$obtenemos

$$\begin{equation} \mathcal{A} = -\frac{i\pi g^2}{\omega_{k}}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n\phi_n \delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$ La probabilidad de transición es entonces

$$\begin{equation} |\mathcal A|^2 = (2\pi)^4\delta^4(0)\frac{g^4}{16\pi^2\omega_k^2}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n |\phi_n|^2\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$ Como siempre, interpretamos $(2\pi)^4\delta^4(0) = VT$como la integral sobre todo el espacio-tiempo y la probabilidad de transición por volumen por unidad de tiempo es

$$\begin{equation} \mathrm d P(\mathbf{k_1,k_2}) = \frac{g^4}{16\pi^2\omega_k^2}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n |\phi_n|^2\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$

Decaimiento del campo oscilante

Podemos calcular la tasa de decaimiento del campo oscilante por conservación de energía. A tiempo$\mathrm{d}t$y volumen$V$esperamos crear$2\mathrm d P(\mathbf{k_1,k_2})V\mathrm{d}t$partículas con energía$\omega_k$. Por lo tanto, el cambio de energía es$\mathrm{d}E = 2\omega_k\mathrm d P(\mathbf{k_1,k_2})V\mathrm{d}t$. Por lo tanto, el campo oscilante debe perder la misma cantidad de energía para que

$$\begin{equation} \frac{\mathrm{d \rho_\phi(\mathbf{k_1,k_2})}}{\mathrm{dt}} = - \frac{g^4}{8\pi^2\omega_k}\delta(\mathbf{k_1+k_2})\sum_n |\phi_n|^2\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) \end{equation}$$ Esta es la pérdida de energía debido a la producción de pares de dos $\chi$-partículas con momentos $\mathbf{k_1,k_2}$. Obtenemos la pérdida total de energía integrando sobre los momentos

$$\begin{equation} \dot\rho_\phi = - \frac{g^4}{2\pi}\sum_n |\phi_n|^2\int_{m_\chi}^\infty \mathrm{d}\omega_k \omega_k\sqrt{1-\frac{m_\chi^2}{\omega_k^2}}\delta\left(\omega_k-\frac{n\omega}{2}\right) = - \frac{g^4\omega}{4\pi}\sum_{n=1}^{\infty} n|\phi_n|^2\sqrt{1-\frac{4m_\chi^2}{n^2\omega^2}} \end{equation}$$ Definimos el ancho de caída para el campo a través de $\dot\rho_\phi = -\Gamma \rho_\phi$. en el limite $m_\chi \ll \omega$la tasa de decaimiento es

$$\begin{equation} \Gamma = \frac{g^4\omega}{4\pi\rho_\phi}\sum_{n=1}^{\infty}n|\phi_n|^2 \end{equation}$$

Potencial$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$

Si el inflatón oscila en un potencial armónico entonces$\phi = \Phi\sin mt$para una interacción trilineal y$\phi = \Phi^2\sin^2mt$para una interacción cuártica. Por lo tanto, es trivial comprobar que para las interacciones$V_I = g^2\sigma \phi\chi^2$y$V_I = g^2\phi^2\chi^2$obtenemos, respectivamente,

$$\begin{equation} \Gamma(\phi\rightarrow\chi\chi) = \frac{g^4\sigma^2}{8\pi m}, \qquad \Gamma(\phi\phi \rightarrow\chi\chi) = \frac{g^4\Phi^2}{16\pi m} \end{equation}$$

Potencial$V = \frac{\lambda}{4}\phi^4$

Si el inflatón oscila en el potencial cuártico (ignorando la expansión del universo), la ecuación de movimiento del inflatón es

$$\begin{equation} \ddot \phi + \lambda \phi^3 = 0 \end{equation}$$ que tiene la solucion

$$\begin{equation} \phi = \Phi \mathrm{cn}\left(\sqrt{\lambda}\Phi t, \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{equation}$$ dónde $\mathrm{cn}(x,k)$es la función coseno elíptica de Jacobi que tiene un período $T=4K/\sqrt{\lambda \Phi^2}$, $K\equiv K(k)$siendo una integral elíptica completa de primera especie. Podemos buscar la expansión armónica del coseno elíptico en, digamos, Wikipedia. Los coeficientes son

$$\begin{equation} \phi_n = 2\sqrt{2}\lambda^{-1/2}\Phi\omega \frac{e^{-\pi |n|/2}}{1+e^{-\pi |n|}} \end{equation}$$ por impar $n$y $\phi_n = 0$incluso para $n$. La densidad de energía del inflatón es $\rho_\phi = \frac{1}{4}\lambda\Phi^4$. Para la interacción $V_I = g^2\sigma\phi$la tasa de decaimiento es entonces

$$\begin{equation} \Gamma(\phi\rightarrow\chi\chi) = \frac{8g^4\sigma^2\omega^3}{\pi\lambda^2 \Phi^4}\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)\frac{e^{-(2n-1)\pi}}{\left(1+e^{-(2n-1)\pi}\right)^2} \simeq \frac{g^4\sigma^2\omega^3}{\pi^2\lambda^2 \Phi^4} = \frac{\sqrt{3}\pi^2}{K^3}\frac{g^4\sigma^2}{8\pi\sqrt{3\lambda \Phi^2}} \simeq 2.7 \frac{g^4\sigma^2}{8\pi m_\mathrm{eff}} \end{equation}$$ (la suma está muy bien aproximada por $1/(8\pi)$). La frecuencia de la oscilación del inflatón es $\omega = 2\pi/T = \sqrt{\lambda}\Phi\pi/2K$y en la última expresión definimos una masa efectiva de los cuantos de inflatón $m_\mathrm{eff}^2 \equiv 3\lambda \Phi^2$. Por lo tanto, la tasa de descomposición es algo mayor en comparación con la de un condensado de partículas. Para la interacción cuártica $V_I = g^2\phi^2\chi^2$tenemos que expandir $\Phi^2\mathrm{cn}^2\left(\sqrt{\lambda \Phi^2}t,1/\sqrt{2}\right)$en una serie armónica. No estoy al tanto de una expansión exacta, pero podemos hacer esto numéricamente:

$$\begin{equation} \phi^2(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}\alpha_n e^{-in\omega t} \qquad \Rightarrow \qquad \alpha_n = \frac{1}{T}\int_0^{T}\mathrm{d}t\:\phi^2e^ {in\omega t} \end{equation}$$ Tomando solo un par de términos principales obtenemos

$$\begin{equation} \Gamma(\phi \rightarrow \chi\chi) \simeq 0.5 \times \frac{g^4m_\mathrm{eff}}{8\pi\lambda} \sim \frac{g^4\Phi}{\sqrt{\lambda}} \end{equation}$$ tal como habíamos sospechado inicialmente.

Expansión del universo

Hasta ahora hemos despreciado la expansión del universo. En el caso del potencial inflatón cuadrático$V=\frac{1}{2}m^2\phi^2$el comportamiento del inflatón está bastante bien aproximado por$\phi_0 a^{-3/2}\sin mt$y la escala de tiempo de la oscilación es mucho más pequeña que el tiempo del Hubble, por lo que simplemente podemos reemplazar$\Phi\sim \Phi a^{-3/2}$. esto deja$\Gamma(\phi\rightarrow \chi\chi)$no afectado mientras$\Gamma(\phi\phi\rightarrow \chi\chi)$ahora se escala como$a^{-3}$, decayendo más rápido que$H$, lo que significa que este proceso nunca llega a ser efectivo.

En el caso del potencial cuartico podemos reescalar los campos$\phi\rightarrow \phi/a$,$\chi\rightarrow \chi/a$y cambiar nuestra coordenada de tiempo a tiempo conforme$\mathrm d \tau \equiv a^{-1}\mathrm{d}t$en cuyo caso la solución que teníamos antes$\phi = \Phi \mathrm{cn}(\sqrt{\lambda\Phi^2}\tau,1/\sqrt{2})$sigue siendo válido y$\Phi$es la amplitud al inicio de la oscilación. Ahora bien, cualquier término que sea cuartico en los campos o cuadrático en las derivadas se escala de la misma manera,$\propto a^{-4}$, y así la expansión del universo se factoriza (la situación es conforme al caso de Minkowski) y$\Gamma(\phi\phi\rightarrow \chi\chi)$no ha cambiado, solo que ahora se entiende como la tasa de decaimiento en el tiempo conforme (en el tiempo cósmico$\Gamma(t) = \Gamma(\tau)/a$).

La interacción trilineal$V_I = g^2\sigma \phi \chi^2$es más complicado. Debido a que solo tiene tres campos, se escala como$a^{-3}$en vez de$a^{-4}$y así frena la invariancia conforme. Entonces, en las variables reescaladas la interacción se convierte en$V_I = g^2\sigma \phi(\tau)a(\tau) \chi^2$y así el campo clásico responsable de la producción de partículas tiene una amplitud creciente y ya no es periódico. Sin embargo, suponiendo que$a$cambia muy lentamente en comparación con las oscilaciones que simplemente podemos reemplazar$\sigma\rightarrow a\sigma$y así va la tasa de decaimiento$\Gamma\rightarrow a^2\Gamma$en tiempo conforme ($a\Gamma$en el tiempo cósmico).